【通信原理笔记】【二】随机信号分析——2.5 高斯随机过程

前言

这篇我们来学习通信原理中非常重要的高斯（正态）随机过程，在之后的内容中会反复使用这个模型

一、高斯分布

首先回顾一下概率论中学过的高斯分布的形式定义，一个随机变量$X$若服从高斯分布，可记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中$\mu ,{\sigma }^2$分别为均值和方差（特别的，$N(0,1)$称为标准高斯分布），其概率密度函数（pdf）如下：

$p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

该概率密度函数关于均值$\mu$对称，在$x=\mu$时取最大值。

二、高斯过程

首先给出针对一组随机变量服从联合高斯分布的定义：对于一组随机变量$X_1,X_2,\dots ,X_k$，若他们均由一组独立的标准高斯分布变量$Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$的线性组合与常数之和组成，则称这组随机变量服从联合高斯分布。

$X=A[Z_1,Z_2,\dots ,Z_n{]}^T+B$

由这个定义容易推导出，对这组随机变量做任意的线性组合，得到的一组新的随机变量仍然是服从联合高斯的。（其实就是再乘上一个矩阵而已。）

现在，我们给出高斯过程的定义：一个随机过程$X(t)$是高斯过程当且仅当取任取一些时刻的一组随机变量，这组随机变量都满足联合高斯。

通过这个定义可以得到高斯过程的一条性质，即对高斯过程乘上任意确定信号$m(t)$，结果仍然是高斯过程。因为任取的一组随机变量$X_1,X_2,\dots ,X_k$，乘上该时刻确定信号的值得到一组新的随机变量$m_1{X}_1,m_2{X}_2,\dots ,m_k{X}_k$，是原随机变量组的线性组合。类似的结论还有高斯过程与任意信号做卷积、内积、相关…等操作得到的结果也仍然是高斯过程，证明思路同样是转化成线性组合即可。

三、高斯白噪声

通信中最广泛最常见的噪声模型，就是高斯白噪声$n_w(t)$，它存在于信道中，叠加在传输信号之上。它是一个零均值平稳高斯过程（把目前第二章学过的buff叠满了），它的功率谱密度是一个贯穿整个频域（“白”的由来）的常数，一般用$N_0/2$来表示（双边功率谱，如果是单边谱就是$N_0,f>0$），那么它的自相关函数就是一个冲激$N_0\delta (\tau )/2$

高斯白噪声通过一个滤波器$h(t)$，得到输出

$n(t)=\int n_w(u)h(t-u)du$

根据平稳过程通过滤波器输出仍然是平稳过程，高斯过程通过滤波器（即与冲激响应做卷积）结果仍然是高斯过程，所以仍然是平稳高斯过程，其功率谱密度为：

$P_n(f)=N_0|H(f){|}^2/2$

功率为对功率谱密度求积分：

$P_n=\int N_0|H(f){|}^2/2df=N_0{E}_h/2$

该滤波器可以取各种变换，如希尔伯特变换，得到的输出仍然是平稳高斯过程。

四、窄带高斯白噪声的复包络

当高斯白噪声通过一个带通滤波器后，输出的就是一个仅在有限的频带上的一个平稳高斯过程$n(t)$，称为窄带高斯白噪声，其功率谱密度是一个矩形脉冲。既然是带通的随机过程，那自然又可以使用解析过程、复包络等工具进行基带等效:

$Z(t)=n(t)+j\hat{n}(t)$
$n_L(t)=Z(t)e^{-2\pi f_{c}t}$

根据平稳高斯过程的性质，$Z(t)，n_L(t)$为复平稳高斯过程，平稳过程的解析过程与复包络拥有的性质在这都成立。

总结

在这篇中介绍了高斯过程与高斯白噪声，将在之后的内容中得到应用。最重要的性质就是高斯白噪声通过各种系统得到的仍然是平稳高斯过程。

下一篇将是第二章的最后一节内容匹配滤波器。