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力扣188. 买卖股票的最佳时机 IV
难度 困难
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
1 <= k <= 1001 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000
class Solution {
const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
}
};状态机分析
这题和力扣123. 买卖股票的最佳时机 III一样，因为这题用的解题思路是适配这题的，所以把上一题的最多交易两次换成最多交易k次即可，思路基本力扣123一样，看了力扣123可跳过：
以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示： 由于有买入和卖出（可交易）两个状态，因此可以选择用两个数组。但是这道题里面还有交易次数的限制，因此还需要再加上一维，用来表示交易次数。其中：
- f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于买入状态，此时的最大利润，
- g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于卖出（可交易）状态，此时的最大利润。
状态机：
状态转移方程：
对于 f[i][j] ，有两种情况到这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于买入状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ;
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于卖出（可交易）状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最大利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。
综上，要的是最大利润，因此是两者的最大值： f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]) ;
对于 g[i][j] ，也有两种情况可以到达这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于卖出（可交易）状态，第 i 天啥也不干即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于买入状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 比交易。此时的最大利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不⼀定存在，要先判断⼀下。
综上，我们要的是最大利润，因此状态转移方程为：
g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
初始化、填表顺序、返回值：
对于 f 表由于需要用到 i = 0 时的状态，因此初始化第一行即可。 当处于第 0 天的时候，只能处于买入过一次的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] ，其它为负无穷。
对于 g 表由于需要用到 i = 0 时的状态，因此初始化第一行即可。 当处于第 0 天的时候，处于卖出（可交易）状态，啥也不干即可，此时的收益为0 ，因此 f[0][0] = 0，其它为负无穷。
对于负无穷：为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态起不到干扰的作用，将它们初始化为负INF （用INT_MIN 在计算过程中会有溢出的风险，这里 INF 折半取 0x3f3f3f3f ，足够小即可）。
填表顺序从左往右两个表一起填，最后返回 g 表最后一行的最大值。
解析代码
class Solution {
const int INF = 0x3f3f3f3f;
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
k = min(k, n / 2); // 小优化，交易次数不大于天数的一半
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k+1, -INF));
vector<vector<int>> g(n, vector<int>(k+1, -INF));
f[0][0] = -prices[0];
g[0][0] = 0;
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
for(int j = 0; j <= k; ++j)
{
f[i][j] = max(f[i-1][j], g[i-1][j] - prices[i]);
g[i][j] = g[i-1][j];
if(j-1 >= 0)
g[i][j] = max(g[i-1][j], f[i-1][j-1] + prices[i]);
}
}
int ret = 0;
for(int i = 0; i <= k; ++i)
{
ret = max(ret, g[n-1][i]);
}
return ret;
}
};
