【蓝桥杯】小明的背包2（DP）

一.题目描述

二.问题分析 

这是一个典型的动态规划问题。

我们使用一个二维数组来解决问题，dp[i][j]表示从第1个到第i个物品中进行选取，装入容积为j的背包中商品的总价值。

其实这里隐含了一个初始条件，即dp[i][0]=0，即背包容量为0时，无论如何选取商品，其价值总为0。

如图所示，由于商品的编号从1开始，上图中箭头所指的元素值均为0。

有了初始条件，就需要dp的递推公式。

我们考虑最简单的一种情况，即商品的种类为1时。dp[1][j]的值完全取决于容量为j的背包能够装入多少件该商品。

此时，我们便能够将上图中绿色箭头所指的一行填上数字。

此时，我们再考虑复杂一点的情况，商品种类变为i。

也就是说，我们需要将上图表格中第i行填入。 

此时考虑产生的最大价值，我们就需要去考虑i种商品。我们可以使用已经存在的数据，来对i种商品的最大价值进行构建。

背包的容积j从0开始依次递增到v，我们考虑dp[i][j]。

我们可以使用dp[i-1][j]的值对dp[i][j]进行初始化。注意：此时这个二维数组前i-1行的数据均填写完毕，均有初值。

dp[i][j]=dp[i-1][j]，表示的含义就是不加入第i种产品，与此同时，我们还需要考虑加入第i种产品，问题来了，那需要加几个呢，所以嵌入了一个内循环，k从1开始，一直循环到背包容量所能承受的最大件数。每次都要去看，max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*item[i].weight]+k*item[i].value)，哪个值更大。注意，这里一定要用dp[i][j]。

最终，构建出了这个二维数组的所有值，dp[n][v]就是我们要的结果。

具体代码如下：

//小明的背包
#include <iostream>

using namespace std;

const int N=1e3+10;
int n,v;//n物品种类，v背包容积

struct Item{
    int weight;
    int value;
}item[N];

int dp[N][N]={0};//dp[i][j]表示从第1个到第i个物品中进行选取装入容积为j的背包中

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>v;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>item[i+1].weight>>item[i+1].value;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){//外层循环商品的种类
        for(int j=0;j<=v;j++){//内层循环背包的容积
            dp[i][j]=dp[i-1][j];//表示不放入第i个产品
            for(int k=1;k*item[i].weight<=j;k++){
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*item[i].weight]+k*item[i].value);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][v]<<'\n';
    return 0;
}