数学建模-多目标规划算法(美赛建模)

单目标优化的情况下，只有一个目标，任何两解都可以依据单一目标比较其好坏，可以得出没有争议的最优解。

多目标化与传统的单目标优化相对。多目标优化的概念是在某个情景中在需要达到多个目标时，由于容易存在目标间的内在冲突，一个目标的优化是以其他目标劣化为代价，因此很难出现唯一最优解，取而代之的是在他们中间做出协调和折衷处理，使总体的目标尽可能的达到最优。

下面以我在建模美赛中的题目实列来阐述：

背景
美国和加拿大的五大湖是世界上最大的淡水湖群。这五个湖泊和相连的水道构成了一个巨大的
流域，其中包含了这两个国家的许多大城市，气候和当地的天气条件各不相同。
湖区的水有多种用途(捕鱼、娱乐、发电、饮用、航运、动物和鱼类栖息地、建筑、灌溉等)。因
此，各种各样的利益相关者都对流入和流出湖泊的水的管理感兴趣。特别是，如果从湖泊排出
或蒸发的水太少，那么可能会发生洪水，沿岸的家庭和企业受到影响;如果排水过多，那么大型
船只就无法通过水路运送补给，支持当地经济。主要问题是调节水位，使所有利益相关者都能
受益。
每个湖泊的水位是由进出湖泊的水量决定的。这些水位是温度、风、潮汐、降水、蒸发、测深
(湖底形状)、河流流量和径流、水库政策、季节周期和长期气候变化等复杂相互作用的结果。在
五大湖系统的水流中有两种主要的控制机制:苏河水闸补偿工程。玛丽(三个水力发电厂，五个航
行船闸和一个在激流顶端的闸门大坝)和康沃尔的摩西-桑德斯大坝，如附录所示。
虽然这两座控制水坝、许多渠道和运河以及流域水库可能是由人类控制的，但降雨、蒸发、侵
蚀、冰塞和其他水流现象的速率是人类无法控制的。地方政府的政策可能会产生与预期不同的
影响，流域的季节和环境变化也可能会产生不同的影响。这些变化反过来又会影响该地区的生
态系统，从而影响湖泊内外动植物的健康以及生活在水盆中的居民。尽管五大湖似乎有一个规
律的年度模式，但水位从正常水平的 2 到 3 英尺的变化会极大地影响一些利益相关者。
这种动态的网络流量问题是“邪恶的”——由于相互依赖、复杂的要求和固有的不确定性，解
决起来异常具有挑战性。对于湖泊的问题，我们有不断变化的动态和利益相关者的利益冲突。
有关附加信息，请参阅问题 D 附录
国际联合委员会(IJC)请求贵公司国际网络控制建模师(icm)提供支持，协助管理和建模直接影响
五大湖水网水位的控制机制(附录中所示的两座水坝-补偿工程和摩西-桑德斯大坝)。你的 ICM
主管已经让你的团队领导开发模型和实施模型的管理计划。你的导师指出，有几个考虑因素可
能有助于实现这一目标，首先是为五大湖建立一个网络模型，并将从苏必利尔湖到大西洋的河
流连接起来。你的导师提到的其他一些可选的考虑因素或问题是:
•考虑到各个利益相关者的愿望(每个利益相关者的成本和收益可能不同)，确定五大湖区在一
年中任何时候的最佳水位。
•根据五大湖的流入和流出数据，建立算法以维持五大湖的最佳水位。
•了解您的控制算法对两个控制坝的流出的敏感性。考虑到 2017 年的数据，对于各利益相关者来说，你的新控制方法是否会使当年的实际记录水位令人满意或更好?
•你们的算法对环境条件(例如，降水、冬季积雪、冰塞)的变化有多敏感?
•将您的广泛分析集中在影响安大略湖的利益相关者和因素上，因为最近对该湖的水位管理有更多的关注。

在最后一问中需要对于主要以安大略湖为核心，其它湖为次要考虑因素的利益相关者的分析。

1. Lake Ontario 水位管理模型：

1.1 水位控制因素：

- 湖泊补给源： 入湖流量 I(t)

- 湖泊排水源： 排水流量 O(t)

- 湖泊蒸发： 蒸发量 E(t)

- 湖泊降雨： 降雨量 R(t)

- 湖泊人工控制： 人工控制量 U(t)

1.2 水位模型：

湖泊水位模型可以采用动态水库模型：

2. 利益相关方和目标分析：

2.1 利益相关方：

- 当地居民： 洪水风险降低、水质保护。

- 渔业： 水生态系统保护。

- 航运公司： 航运通畅度。

- 政府机构： 水资源管理和环境保护。

2.2 目标归为以下三类（安大略湖本次分析）：

- 洪水风险控制:min

- 生态保护：max

- 航运通畅:max

洪水风险控制：X生态保护：Y航运通畅:Z

（阶段性Bar3D图）

3.1 优化目标：

多目标优化问题：

算法选择：

采用多目标遗传算法（MOGA）进行优化。将重点放在安大略湖的利益相关者和因素上，其它湖均为次要

4. 环境条件敏感性分析（本次敏感性主要以安大略湖为核心，其它湖为次要考虑因素）：

DataRainfall{1.67,1.23,0.97,1.23,1.45,1.98,1.20,1.88,1.92,1.39}

-2011-2020

DataRainfall{1.02,0.91,0.89,1.23,0.98,1.09,1.34,1.38,1.10,1.34}

-2011-2020

使用历史数据进行参数估计和模型验证：

(aBy均为对应相关系数）

吻合百分比Jhist

Data{81%,84%,91%,94%,82%,81%,91%,97%,80%,90%,92%,97%,99%,92%,97%,89%,87%,}

（该图并不是Data数据图）