a 的 b 次方模 p_题解

【题解提供者】吴立强

解法一

思路

【快速幂】算法模板题。

面对 $a^b\mathrm{mod}p$ 这个结构，并没有什么显而易见的切入点，直接求必然超时 $O(b)$。

而快速幂算法是先将 $b$ 二进制分解（假设 $b$ 的二进制表示为 $b_{29}{b}_{28}{b}_{27}...b_2{b}_1{b}_0$），那么就有：

$a^b={\prod }_{i=0}^{29}(b_i\times a^{2^i})$

由于乘法取模可以对乘法各部分先取模，所以有：

$a^b\mathrm{mod}p=({\prod }_{i=0}^{29}((b_i\times a^{2^i})\mathrm{mod}p))\mathrm{mod}p$

通过上面的式子，我们将原本的 $a^b$ 经由 $b$ 的二进制拆分转化成了 30 个（因为 $2^{30}>10^9$）子结构的乘积，如果可以较为快速的处理出这 30 个子结构的值，那么原式的值也就求出来了。

$b$ 的二进制拆分并不难，而 $a$ 则需依次求解出 $a^1,a^2,a^4,a^8...$，注意到其每一项都是前一项的平方，通过递推也就可以做到依次求解了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
   
    ll a, b, p;  cin >> a >> b >> p;
    ll ans = 1;
    /// 二进制拆解 b
    while(b) {
   
    	/// 当前 b 的最后一位是 1
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
        /// 将 a 平方
        a = a * a % p;
        /// 移除 b 的最后一位
        b >>= 1;
    }
    /// 注意，当 b 为 0 时 while 循环内部语句不会执行
    /// 此时 ans 为 1，如果 p 也为 1，那么答案应该是 0
    /// 故输出前一定要将结果再模 p
    cout << ans % p;
    return 0;
}

算法分析

本算法的时间复杂度为 $O(\log (b))$。