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1049.最后一块石头的重量II
思路
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组及其下标含义：
dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
2.确定递推公式：
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])；
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3.dp数组初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。
因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
4.确定遍历顺序：
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5.打印dp数组：
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
算法实现
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
vector<int> dp(1501, 0);
int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
int target = sum / 2;
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) {
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target];
}
};494.目标和
前言
本题使用回溯和动规两种方法进行实现，动规的实现依然难在如何转化为背包问题。、
方法一：回溯法
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
}
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
if (abs(target) > sum) return 0;
if ((target + sum) % 2) return 0;
int bagWeight = (target + sum) / 2;
result.clear();
path.clear();
sort(nums.begin(), nums.end());
backtracking(nums, bagWeight, 0, 0);
return result.size();
}
};方法二：动态规划
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。所以我们要求的是 x - (sum - x) = target -> x = (target + sum) / 2。
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
利用动规五部曲进行分析：
1.确定dp数组及其下标含义：
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
2.确定递推公式：
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。求组合类的问题都是类似的递推公式：
dp[j] += dp[j - nums[i]]3.dp数组初始化：
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
4.确定遍历顺序：
在于01背包问题一维dp的遍历中已经学过，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
5.举例推导dp数组：
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagWeight = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
算法实现
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
if (abs(target) > sum) return 0;
if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
int bagWeight = (sum + target) / 2;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = bagWeight; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagWeight];
}
};474.一和零
前言
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。本题的01背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
思路
开始动规五部曲：
1.确定dp数组及其下标含义：
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
2.确定递推公式：
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
3.dp数组初始化：
01背包的dp数组初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序：
依然是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
5.打印dp数组：
以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
算法实现
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0));
for (string str : strs) {
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};总结：
回顾01背包的例题：
- 纯 0 - 1 背包 (opens new window)是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
- 416. 分割等和子集 (opens new window)是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
- 1049. 最后一块石头的重量 II (opens new window)是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
- 494. 目标和 (opens new window)是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
- 474.一和零是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。
