【Leetcode 410】分割数组的最大值 —— 动态规划

410. 分割数组的最大值

给定一个非负整数数组nums和一个整数k，你需要将这个数组分成k个非空的连续子数组。

设计一个算法使得这k个子数组各自和的最大值最小。

示例 1：

输入：nums = [7,2,5,10,8], k = 2
输出：18
解释：
一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。
其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 2
输出：9

示例 3：

输入：nums = [1,4,4], k = 3
输出：4

题目分析

经典动态规划问题，更多案例可见 Leetcode 动态规划详解

我们可以使用动态规划解决本题，解题思路：

1. 状态定义：
   • f[i][j] 表示将数组的前 i 个数分割为 j 段所能得到的最大连续子数组和的最小值
   • sub(i,j)表示数组 nums中下标落在区间[i,j]内的数的和
2. 状态转移方程：枚举 x，其中前 x 个数被分割为 j−1 段，而第 x+1 到第 i 个数为第 j 段

$$f[i][j]=\underset{x=0}{\overset{i-1}{\min }}\text{{}max(f[x][j-1],sub(x+1,i))\text{}}$$

​

3. 初始状态f[0][0] = 0，最终答案为f[n][k]

动态规划一般用于求解具有重叠子问题和最优子结构的问题，例如最长公共子序列、背包问题、最短路径等。重叠子问题指的是在求解问题的过程中，多次用到相同的子问题，最优子结构指的是问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造

class Solution {
   
    public int splitArray(int[] nums, int k) {
   
        int n = nums.length;
        int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
        for(int i = 0; i <= n; i++){
   
            Arrays.fill(f[i], Integer.MAX_VALUE);
        }
        int[] sub = new int[n + 1];
        for(int i = 0; i < n; i++){
   
            sub[i + 1] = sub[i] + nums[i];
        }
        f[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
   
            for(int j = 1; j <= Math.min(i, k); j++){
   
                for(int x = 0; x < i; x++){
   
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], Math.max(f[x][j - 1], sub[i] - sub[x]));
                }
            }
        }
        return f[n][k];
    }
}