【算法与数据结构】96、LeetCode不同的二叉搜索树

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一、题目

二、解法

  思路分析：本题假设动态数组dp为互不相同的二叉搜索树的数量，有$dp[0]=1,dp[1]=1,dp[2]=2$。二叉搜索树可以抽象成三部分：根节点，左子树和右子树。假设根节点取值为$i$，除了根节点以外的节点数量为$i-1$。那么左右子树根据数量的不同可以分成$j-1$和$i-j$，那么以$i$为根节点的二叉搜索树的数量为$dp[i]=dp[j-1]\ast dp[i-j]$。因为根节点的值从1到n，所以dp[i]采取累加的形式，$dp[i]+=dp[j-1]\ast dp[i-j]$。
  程序如下：

class Solution {
   
public:
    int numTrees(int n) {
   
        vector<int> dp(n + 1);  // dp[0] = 1, dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 5
        dp[0] = 1;  
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
   
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    } 
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
using namespace std;

class Solution {
   
public:
    int numTrees(int n) {
   
        vector<int> dp(n + 1);  // dp[0] = 1, dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 5
        dp[0] = 1;  
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
   
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    } 
};

int main() {
   
	Solution s1;
	int n = 3;
	int result = s1.numTrees(n);
    cout << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

end