傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换、离散余弦变换的理解

1. 傅里叶级数

功能：能把任意周期性函数展开成一系列正弦、余弦函数的和。

公式：

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( 2 π n x T ) + b n sin ⁡ ( 2 π n x T ) ) 傅里叶系数 a n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ cos ⁡ ( 2 π n x T ) d x , n ∈ { 0 } ⋃ N b n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ sin ⁡ ( 2 π n x T ) d x , n ∈ N \begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(\frac{2\pi nx}T)+b_n\sin(\frac{2\pi nx}T)\right) \\ \text{傅里叶系数} \\ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)\cdot\cos(\frac{2\pi nx}{T})dx,n\in\{0\}\bigcup\mathbb{N} \\ b_{n}={\frac{2}{T}}\int_{x_{0}}^{x_{0}+T}f(x)\cdot\sin({\frac{2\pi nx}{T}})dx,n\in\mathbb{N} \end{gathered} f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cos(T2πnx​)+bn​sin(T2πnx​))傅里叶系数an​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅cos(T2πnx​)dx,n∈{ 0}⋃Nbn​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅sin(T2πnx​)dx,n∈N​

比如下图的一个函数能够被一系列周期为2$\pi$的正弦函数展开：

加加减减后周期仍是2$\pi$，调整正弦、余弦函数前面的系数（振幅）就可以慢慢逼近原函数了。

下面我们尝试把周期变成更一般的T，则正弦、余弦函数可写成：
$$\begin{array}{l}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\\ \\ cos(\frac{2\pi n}{T}x)\end{array}$$

前面的系数（$a_n,b_n$）我们可以通过几何的角度进行理解：

首先要有个先验知识就是正弦、余弦函数可以看成无限维的向量，并且两个向量的内积为0，即正弦余弦函数是正交的。

无限维向量内积：

因此傅里叶变换可看成是由一组正交基构成的：

每个正交向量就是：{1,0,0}，{0，cos(2pi n/T x)，0}，{0,0，sin(2pin/Tx)}

那么如何求系数呢 就是这些坐标：
例如：其中c1，c2是坐标


扩展到傅里叶：

bn类似的。

2.傅里叶变换

随着函数周期变大，频域上的点会越来越密集，若一个非周期函数，则频域图中的点连续：



而傅里叶变换就是求出当周期无穷大时，对应的这个连续的频域图曲线。

首先把傅里叶级数用欧拉公式换一下：



F(w)就是频域曲线。
另外还可以再改造一下，把前面系数移进去：

$$F(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\cdot e^{-j2\pi wx}dx$$

同理可得二维傅里叶变换：
$$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\cdot e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$$
二维傅里叶反变换：
$$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(u,v)\cdot e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

二维离散傅里叶变换：
$$F(u,v)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}f(x,y)\cdot e^{-j2\pi (ux/M+uy/N)}$$

$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)\cdot e^{j2\pi (ux/M+uy/N)}$$

3. 小波变换

暂时放个链接在这小波变换

4. 离散余弦变换
   离散余弦变换其实就是傅里叶变换的实数部分
   $$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\lambda (u)\lambda (v)\sum _{x=0}^{N_1-1}\sum _{y=0}^{N_2-1}f(x,y)\cos \left(\pi u\frac{2x+1}{2N_1}\right)\cos \left(\pi v\frac{2y+1}{2N_2}\right)\\ & \\ \lambda (\omega )& =\{\begin{array}{llc}\sqrt{\frac{1}{N}},& \mathrm{if}\omega =0& \\ \sqrt{\frac{2}{N}},& \mathrm{otherwise}& \end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\sum _{u=0}^{N_1-1}\sum _{v=0}^{N_2-1}\lambda (u)\lambda (v)F(u,v)\cos \left(\pi u\frac{2x+1}{2N1}\right)\cos \left(\pi v\frac{2y+1}{2N2}\right)\end{array}$$