第一章 随机事件和概率

1.1 随机事件的公式 重要程度：三星

事件的关系、运算和运算律

1. 事件的关系

• 包含关系：$A\subset B\iff$ 事件A发生一定导致B发生.
• 事件相等：$A\subset B$ 且 $B\subset A$, 则事件 $A=B$.
• 互斥(互不相容)事件：$AB=\varnothing \iff$ A, B不能同时发生.
• 对立(互逆)事件：$A\cup B=\Omega$ 且 $A\cap B=\varnothing \iff$ A, B在一次试验中必然发生且只能发生一个.A的对立事件记为 $\overline{A}$.

2. 事件的运算

• A与B的和事件：记为 $A\cup B\iff A$ 或 $B$ 至少有一个发生时，事件 $A\cup B$ 发生.
• A与B的积事件：记为 $A\cap B\iff A$ 且 $B$ 同时发生时，事件 $A\cap B$ 发生.
• A与B的差事件：事件 $A-B\iff A$ 发生且B不发生时，事件 $A-B$ 发生.也记为 $A\overline{B}$.

3. 事件的运算律

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$.
• 结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$, $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
• 德摩根律(对偶律)：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$, $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$.

例题

对任意二事件 $A,B$, 与 $A\cup B=B$ 不等价的是：

• A. $A\subset B$
• B. $\overline{B}\subset \overline{A}$
• C. $AB=\varnothing$
• D. $\overline{A}B=\varnothing$

【解析】
$A\cup B=B$ 等价于 $A\subset B$ 或 $\overline{B}\subset \overline{A}$, 也就说明AB没有公共部分，即 $A\overline{B}=\varnothing$。
故 $A\cup B=B$ 与选项A, B, C都等价，故选D.

1.2 概率计算的公式 重要程度：四星

加法公式

1. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).$
2. $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).$

减法公式

设 $A,B$ 是任意两个事件，则有:

1. $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B).$
2. 若 $B\subset A$, 则有 $P(A-B)=P(A)-P(B).$

乘法公式

1. 若 $P(A)>0$, 则 $P(AB)=P(B|A)\cdot P(A).$
2. 设 $A,B,C$ 为事件，且 $P(AB)>0$, 则 $P(ABC)=P(C|AB)\cdot P(B|A)\cdot P(A).$

例题

【例题1】
一个电路上安装有甲乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，甲烧断的概率为0.82, 乙烧断的概率为0.74, 两根保险丝同时烧断的概率为0.63, 则至少烧断一根保险丝的概率是？

【解析】
用 $A$ 和 $B$ 分别表示甲、乙烧断的事件，则至少烧断一根的事件即为 $A\cup B$, 所以 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.82+0.74-0.63=\mathrm{0.93.}$

【例题2】
已知 $P(A)=p,P(B)=q$, 且 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $A$ 与 $B$ 恰有一个发生的概率为？

【解析】
$A$ 与 $B$ 恰有一个发生的概率为 $P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})$, 因为 $A$ 与 $B$ 互斥，所以 $P(AB)=0.$ 因而 $P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=p+q.$

条件概率公式（除法公式）

设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$, 称
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件概率。

性质

1. $0\le P(B|A)\le 1$.
2. $P(\varnothing |A)=0,P(\Omega |A)=1$.
3. $P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$.
4. $P(\overline{B}A)+P(BA)=P(A)$
5. $P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1{B}_2|A)$.

例题

已知 $P(A|B)=0.7,P(A|\overline{B})=0.3,P(B|A)=0.6$, 求 $P(A)$.

【解析】

由题意，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=0.7$,
$$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}=0.3,$$
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.6$$
把 $P(AB),P(A),P(B)$ 三者看成未知数，有三个方程可以求解得到 $P(A)=\frac{21}{46}$.

全概率公式

• 完备事件组
  • 在概率论中，一组事件 { A i } \{A_i\} { Ai​} ，如果它们互不相容（即对任意的 $i\ne j$，$A_i\cap A_j=\varnothing$），并且它们的并集构成了样本空间的全集（即 ${\bigcup }_i{A}_i=\Omega$），则称为完备事件组。这意味着这些事件涵盖了所有可能的结果，且没有重叠的部分。在实际应用中，完备事件组允许我们将一个复杂事件的概率分解为几个更简单事件概率的和。

若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是完备事件组，且 $P(A_i)>0,i=1,2,\cdots ,n$, 则任何事件 $A$ 的概率可以用全概率公式表示为：

$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$

这个公式基于条件概率和乘法规则，它提供了一个计算任意事件概率的方法，通过将这个事件在不同条件下的概率进行加权求和。

贝叶斯公式

贝叶斯公式是条件概率的一个应用，它允许我们在给定另一个事件发生的条件下，更新或计算一个事件的概率。如果 $A_1,A_2,...,A_n$ 是一个完备事件组，并且对于所有的 $i$，$P(A_i)>0$，那么对于任何事件 $B$，其概率不为零，我们有：

$$P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}$$
或表示为
$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
贝叶斯公式的分母是对全概率公式的应用，分子是事件 $A$ 和 $B_j$ 同时发生的概率。这个公式提供了一种方法，基于新的信息（即 $A$ 发生的信息）来更新我们对一个假设（即 $B_j$ 发生）的信念。

例题

【例题】
已知甲盒中有3个黑球，1个白球，乙盒中有2个黑球，2个白球，先从甲盒中任取1球X放入乙盒中，再从乙盒中任取一球Y，若已知Y是黑球，求X是黑球的概率。

【解析】
设事件A表示X是黑球，则 $\overline{A}$ 表示X是白球，设事件B表示Y是黑球。

根据全概率公式得
$$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{11}{20}$$
再由贝叶斯公式得
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}}{\frac{11}{20}}=\frac{9}{11}$$

1.3 事件独立性 重要程度：五星

两个事件的独立性

1. 定义

若 $P(AB)=P(A)P(B)$, 则称事件 $A,B$ 相互独立。

2. 性质

1. 若事件 $A,B$ 相互独立，则 $A\overline{B},\overline{A}B,\overline{A}\overline{B}$ 也相互独立。
2. 概率为0或1的事件与任何事件是相互独立的。

例题

设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 $\frac{3}{16}$, 求 $P(A)$.

【解析】

由已知条件，可得 $P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)=\frac{3}{16}$.

故 $P(A)=P(B)$, 且 $P(A)-P(A)P(B)=\frac{3}{16}$.

因此 $P(A)-[P(A){]}^2=\frac{3}{16}$, 即 $P(A)=\frac{1}{4}$ 或 $P(A)=\frac{3}{4}$.

三个事件的独立性

1. 定义

三个事件 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 相互独立。

2. 性质

如果事件 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 相互独立，则 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 经过和、积、差的运算后得到的事件与 $\mathcal{C}$ 或 $\overline{\mathcal{C}}$ 相互独立。

例题

设事件 $A,B$ 满足 $P(A)=0.4,P(B)=0.5$, 且 $P(A|B)=P(A|\overline{B})$, 求 $P(A\overline{B})$ 的概率是？

【解析】

由 $P(A|B)=P(A|\overline{B})$ 可推得，$A$ 与 $B$ 独立，即
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
根据独立性的性质，可得 $A$ 与 $\overline{B}$ 也独立，所以
$$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0.4\times (1-0.5)=0.2$$

1.4 三大概率模型 重要程度：五星

古典概型

古典型概率 $P(A)=\frac{n_A}{n}$, 其中 $n_A$ 是A包含的事件数，$n$ 是基本事件总数。

例题

抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率为 ( ).

A. $\frac{15}{16}$ B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{5}{16}$ D. $\frac{13}{16}$

【解析】

求既出现正面又出现反面的概率，可先求其对立事件的概率，即抛5次全是正面或全是反面的概率为 $\frac{1}{2^5}$. 因此，既出现正面又出现反面的概率为 $1-2\times \frac{1}{2^5}=\frac{15}{16}$.

故选 A.

几何概型

几何型概率 $P(A)$ 与区域的面积成正比。

例题

随机向半圆 $0<y<\sqrt{2ax-x^2}(a>0)$ 内投掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点连线与x轴正方向夹角小于 $\frac{\pi }{4}$ 的概率为 ( ).

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{\pi }$

C. $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }$ D. 1

【解析】

设事件 $A$ 表示原点和该点连线与x轴正方向夹角小于 $\frac{\pi }{4}$, 则

$$P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}=\frac{\frac{a^2}{2}+\frac{1}{4}\pi a^2}{\frac{1}{2}\pi a^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }.$$

故选 C