不同路径
一个机器人位于一个
m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
我们可以已知的是，其实动态规划是一种从dfs开始-》dfs剪枝 -》动态规格的优化过程。
这个题目其实我们可用dfs尝试
class Solution {
int cnt =0;
public int uniquePaths(int m, int n) {
dfs(m-1,n-1,0,0);
return cnt;
}
void dfs(int m,int n,int x,int y){
if(x == m && y == n) {
cnt++;
return;
}
if(x > m || y>n) return;
dfs(m,n,x+1,y);
dfs(m,n,x,y+1);
}
}尝试之后我们会发现，时间超限
so，我们可以开始通过剪枝优化（剪枝其实就是记录重复项了，减少对重复项的运行了）
class Solution {
int[][] memo;
public int uniquePaths(int m, int n) {
memo = new int[m][n];
return dfs(m-1, n-1, 0, 0);
}
int dfs(int m, int n, int x, int y) {
if (x == m || y == n) {
return 1; // 边界情况，只有一条路径
}
if (memo[x][y] > 0) {
return memo[x][y]; // 如果已经计算过，则直接返回结果
}
int right = dfs(m, n, x + 1, y); // 向右走的路径数
int down = dfs(m, n, x, y + 1); // 向下走的路径数
memo[x][y] = right + down; // 将计算结果存入备忘录
return memo[x][y];
}
}
然后提交，运行，然后发现过了。但是我们可不仅仅追求这些，我们要的是dp
在这里了，我们就可以通过上述的memo数组找出它的递推公式了。
如果我们要到meoo[i][j] 这个节点，只有两种路径可以到达。
上面节点向下，或者是左边节点向右到达
递推公式：
memo[i][j] = memo[i-1][j] + memo[i][j-1]
然后就是确定dp数组初始值的问题了，我们不难发现如果一直向左或下，那这里永远只是一条路径。
所以可以确定：
这里的初始值是1
int[][] dp = new int[m][n];
for(int i=0;i<m;i++) dp[i][0] = 1;
for(int i=0;i<n;i++) dp[0][i] = 1;
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
//初始值
for(int i=0;i<m;i++) dp[i][0] = 1;
for(int i=0;i<n;i++) dp[0][i] = 1;
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];//递推公式运行
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}
不同路径2
一个机器人位于一个
m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用
1和0来表示。示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有2条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
这里题目其实同上面第一题思路是一样的，不同的只有一个，当有石头挡路的时候就不走那边了
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int n = obstacleGrid.length;
int m = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[n][m];
dp[0][0] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1; // 如果起点有障碍物，则无法到达，路径数为0
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = obstacleGrid[i][0] == 1 ? 0 : dp[i - 1][0];
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
dp[0][i] = obstacleGrid[0][i] == 1 ? 0 : dp[0][i - 1];
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
dp[i][j] = 0; // 如果当前位置有障碍物，则无法到达，路径数为0
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
}
