1. 维数灾难
随着维度的增加，分类器性能逐步上升，到达某点之后，其性能便逐渐下降。
有⼀系列的图片，每张图片的内容可能是猫也可能是狗；我们需要构造⼀个分类器能够对猫、狗自
动的分类。首先，要寻找到⼀些能够描述猫和狗的特征，这样我们的分类算法就可以利用这些特征
去识别物体。猫和狗的皮毛颜色可能是⼀个很好的特征，考虑到红绿蓝构成图像的三基色，因此用
图片三基色各自的平均值称得上方便直观。这样就有了⼀个简单的Fisher分类器：
If 0.5*red + 0.3*green + 0.2*blue > 0.6 : return cat;
else return dog;使用颜色特征可能无法得到⼀个足够准确的分类器，如果是这样的话，我们不妨加入⼀些诸如图像
纹理(图像灰度值在其X、Y方向的导数dx、dy)，就有5个特征(Red、Blue、Green、dx、dy)来设计
我们的分类器： 也许分类器准确率依然无法达到要求，加入更多的特征，比如颜色、纹理的统计
信息等等，如此下去，可能会得到上百个特征。那是不是我们的分类器性能会随着特征数量的增加
而逐步提高呢？答案也许有些让⼈沮丧，事实上，当特征数量达到⼀定规模后，分类器的性能是在
下降的。 随着维度(特征数量)的增加，分类器的性能却下降了 。
假设猫和狗图片的数量是有限的(样本数量总是有限的)，假设有10张图片，接下来就用这仅有的10
张图片来训练我们的分类器。
单一特征的分类器，在训练集上表现并不好。
增加⼀个特征，比如绿色，这样特征维数扩展到了2维：增加⼀个特征后，我们依然⽆法找到⼀条
简单的直线将它们有效分类。
再增加⼀个特征，⽐如蓝色，扩展到3维特征空间：
在3维特征空间中，我们很容易找到⼀个分类平面，能够在训练集上有效的将猫和狗进⾏分类： 在
高维空间中，我们似乎能得到更优的分类器性能。
从1维到3维，给我们的感觉是：维数越高，分类性能越优。然而，维数过高将导致⼀定的问题：在
⼀维特征空间下，我们假设⼀个维度的宽度为5个单位，这样样本密度为10/5=2；在2维特征空间
下，10个样本所分布的空间⼤小为25，这样样本密度为10/25=0.4；在3维特征空间下，10个样本
分布的空间⼤小为125，样本密度就为10/125=0.08。如果继续增加特征数量，随着维度的增加，
样本将变得越来越稀疏，在这种情况下，也更容易找到⼀个超平⾯将目标分开。然而，如果我们将
高维空间向低维空间投影，高维空间隐藏的问题将会显现出来：过多的特征导致的过拟合现象：训
练集上表现良好，但是对新数据缺乏泛化能力。
高维空间训练形成的线性分类器，相当于在低维空间的⼀个复杂的非线性分类器，这种分类器过多
的强调了训练集的准确率甚至于对⼀些错误/异常的数据也进行了学习，而正确的数据却无法覆盖
整个特征空间。为此，这样得到的分类器在对新数据进行预测时将会出现错误。这种现象称之为过
拟合，同时也是维灾难的直接体现。
用2个特征代替三个特征进行分类器的学习，尽管训练集上准确率不如3维下的高。
简单的线性分类器在训练数据上的表现不如非线性分类器，但由于线性分类器的学习过程中对噪声
没有对非线性分类器敏感，因此对新数据具备更优的泛化能力。换句话说，通过使用更少的特征，
避免了维数灾难的发生(也即避免了高维情况下的过拟合) 由于高维而带来的数据稀疏性问题：假设
有⼀个特征，它的取值范围D在0到1之间均匀分布，并且对狗和猫来说其值都是唯⼀的，我们现在
利用这个特征来设计分类器。如果我们的训练数据覆盖了取值范围的20%(e.g 0到0.2)，那么所使
用的训练数据就占总样本量的20%。上升到⼆维情况下，覆盖⼆维特征空间20%的面积，则需要在
每个维度上取得45%的取值范围。在三维情况下，要覆盖特征空间20%的体积，则需要在每个维度
上取得58%的取值范围...在维度接近⼀定程度时，要取得同样的训练样本数量，则几乎要在每个维
度上取得接近100%的取值范围，或者增加总样本数量，但样本数量也总是有限的。 如果⼀直增加
特征维数，由于样本分布越来越稀疏，如果要避免过拟合的出现，就不得不持续增加样本数量。
数据在高维空间的中心比在边缘区域具备更⼤的稀疏性，数据更倾向于分布在空间的边缘区域：
不属于单位圆的训练样本比搜索空间的中心更接近搜索空间的角点。这些样本很难分类，因为它们
的特征值差别很大（例如，单位正方形的对角的样本）。
⼀个有趣的问题是，当我们增加特征空间的维度时，圆（超球面）的体积如何相对于正方形（超立
方体）的体积发生变化。尺寸d的单位超立⽅体的体积总是1 ^ d = 1。尺寸d和半径0.5的内切超球
体的体积可以计算为：
在高维空间中，大多数训练数据驻留在定义特征空间的超立方体的角落中。如前所述，特征空间角
落中的实例比围绕超球体质心的实例难以分类。
在高维空间中，大多数训练数据驻留在定义特征空间的超立方体的角落中。如前所述，特征空间角
落中的实例比围绕超球体质心的实例难以分类：
事实证明，许多事物在高维空间中表现得非常不同。 例如，如果你选择⼀个单位平方（1×1平⽅）
的随机点，它将只有大约0.4％的机会位于小于0.001的边界（换句话说，随机点将沿任何维度“极
端”这是非常不可能的）。 但是在⼀个 10000维单位超立方体（1×1×1立方体，有1万个1）中，这
个概率⼤于99.999999％。 高维超立方体中的⼤部分点都非常靠近边界。更难区分的是：如果你在
⼀个单位正方形中随机抽取两个点，这两个点之间的距离平均约为0.52。如果在单位三维立方体
中选取两个随机点，则平均距离将⼤致为0.66。但是在⼀个100万维的超⽴⽅体中随机抽取两点
呢？那 么平均距离将是⼤约408.25（⼤约1,000,000 / 6）！
非常违反直觉：当两个点位于相同的单位超立方体内时，两点如何分离？这个事实意味着高维数据
集有可能非常稀疏： 大多数训练实例可能彼此远离。当然，这也意味着⼀个新实例可能离任何训
练实例都很远，这使得预测的可信度表现得比在低维度数据中要来的差。训练集的维度越多，过度
拟合的风险就越⼤。 理论上讲，维度灾难的⼀个解决方案可能是增加训练集的⼤小以达到足够密
度的训练实例。 不幸的是，在实践中，达到给定密度所需的训练实例的数量随着维度的数量呈指
数增长。 如果只有100个特征（比MNIST问题少得多），那么为了使训练实例的平均值在0.1以
内，需要比可观察宇宙中的原子更多的训练实例，假设它们在所有维度上均匀分布。 对于8维超立
方体，⼤约98％的数据集中在其256个角上。结果，当特征空间的维度达到无穷⼤时，从采样点到
质心的最小和最大欧里得距离的差与最小距离本身之比趋于零：
距离测量开始失去其在高维空间中测量的有效性，由于分类器取决于这些距离测量，因此在较低维
空间中分类通常更容易，其中较少特征用于描述感兴趣对象。 如果理论无限数量的训练样本可
用，则维度的诅咒不适用，我们可以简单地使⽤无数个特征来获得完美的分类。训练数据的大小越
小，应使⽤的功能就越少。如果N个训练样本足以覆盖单位区间⼤小的1D特征空间，则需要N ^ 2
个样本来覆盖具有相同密度的2D特征空间，并且在3D特征空间中需要N ^ 3个样本。换句话说，所
需的训练实例数量随着使用的维度数量呈指数增长。
