【反证法 子集状态压缩】2732. 找到矩阵中的好子集

本文涉及知识点

反证法 决策包容性 位运算、状态压缩、枚举子集汇总

LeetCode2732. 找到矩阵中的好子集

给你一个下标从 0 开始大小为 m x n 的二进制矩阵 grid 。
从原矩阵中选出若干行构成一个行的 非空 子集，如果子集中任何一列的和至多为子集大小的一半，那么我们称这个子集是 好子集。
更正式的，如果选出来的行子集大小（即行的数量）为 k，那么每一列的和至多为 floor(k / 2) 。
请你返回一个整数数组，它包含好子集的行下标，请你将子集中的元素 升序 返回。
如果有多个好子集，你可以返回任意一个。如果没有好子集，请你返回一个空数组。
一个矩阵 grid 的行 子集 ，是删除 grid 中某些（也可能不删除）行后，剩余行构成的元素集合。
示例 1：
输入：grid = [[0,1,1,0],[0,0,0,1],[1,1,1,1]]
输出：[0,1]
解释：我们可以选择第 0 和第 1 行构成一个好子集。
选出来的子集大小为 2 。

• 第 0 列的和为 0 + 0 = 0 ，小于等于子集大小的一半。
• 第 1 列的和为 1 + 0 = 1 ，小于等于子集大小的一半。
• 第 2 列的和为 1 + 0 = 1 ，小于等于子集大小的一半。
• 第 3 列的和为 0 + 1 = 1 ，小于等于子集大小的一半。
  示例 2：
  输入：grid = [[0]]
  输出：[0]
  解释：我们可以选择第 0 行构成一个好子集。
  选出来的子集大小为 1 。
• 第 0 列的和为 0 ，小于等于子集大小的一半。
  示例 3：
  输入：grid = [[1,1,1],[1,1,1]]
  输出：[]
  解释：没有办法得到一个好子集。
  提示：
  m == grid.length
  n == grid[i].length
  1 <= m <= 10⁴
  1 <= n <= 5
  grid[i][j] 要么是 0 ，要么是 1 。

决策包容性+反证法

假定某个合法解是选择k行。
性质一：k是奇数，且k >1,则一定存在k-1行的合法解。利用决策包容性来证明。则任意删除一行。 任意一列的和变小或不边。floor(k/2)和floor((k-1)/2)相等。
性质二：k是偶数,且k>2，一定存在k-2的合法解。利用反证法证明。从中任意选择k-2行，如果非法，则说某列，这k-2包括k/2个1。$\to$ 此列其它行全部为0 $\to$ 除了选择这k-2行，选择其它k-2，此列都合法。
$C_k^{k-2}=C_k^2=k\times (k-2)/2$ ,显然随着k递增而递增。k取最小值4，结果为6。即至少有6个不同列，和总共只有5列矛盾。
性质三：结合性质一性质二，如果k>=2，一定存在合法的2行解。
性质四:如果某行全为0，则可以只选择此行。

状态压缩

每行最多5列，值只能是0或1。可以用5位二进制的正数表示。
空间复杂度：O(2ⁿ)
如果不用子集状态压缩：
时间复杂度：O(2ⁿ2ⁿm)
如果用子集状态压缩：
时间复杂度：O(3ⁿm)

代码

核心代码

class Solution {
public:
	vector<int> goodSubsetofBinaryMatrix(vector<vector<int>>& grid) {
		const int N = grid[0].size();
		const int iMaskCount = 1 << N;
		int i = -1;
		vector<int> maskRow(iMaskCount,-1);
		for (const auto& v : grid) {
			i++;
			int mask = 0;
			for (const auto& n: v) {
				mask = mask * 2 + n;
			}
			if (0 == mask) { return { i }; }
			const int can = (~mask) & (iMaskCount - 1);
			for (int sub = can; sub; sub = (sub - 1) & can) {
				if (-1 != maskRow[sub]) {
					return { maskRow[sub],i };
				}
			}
			maskRow[mask] = i;
		}
		return {};
	}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	vector<vector<int>> grid;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod0)
		{
			grid = { {0,1,1,0},{0,0,0,1},{1,1,1,1} };
			auto res = Solution().goodSubsetofBinaryMatrix(grid);
			AssertEx(vector<int>{0, 1}, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			grid = { {0} };
			auto res = Solution().goodSubsetofBinaryMatrix(grid);
			AssertEx(vector<int>{0}, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			grid = { {1,1,1},{1,1,1} };
			auto res = Solution().goodSubsetofBinaryMatrix(grid);
			AssertEx(vector<int>{}, res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。