- 复形
定义 1.1：在集合 V 上的一个单纯复合体（simplicial complex）是满足以下两个要求的非空子集合的集合 K：
- 对于 V 中的每个顶点 v，单点集合 {v} 属于 K，
- 如果 τ 属于 K 且σ⊂τ，则 σ 也必须属于 K。
在单纯复合体 K 中的非空子集合被称为 K 的单纯形（simplices）。单纯形σ 在 K 中的维数被定义为 dim σ=#σ−1,
其中#σ 表示 σ 中包含的顶点数（或者说顶点的基数）。因此，单点集合 {v} 都属于 K 并且维数为零，所有在 K 中的对 {v,v0} 的单元对都具有维数为一，依此类推。单纯复合体 K 的维数由其构成的单纯形中的最大维数确定，即dim K=max{dim σ∣σ∈K}.
根据定义，K0就是顶点集合，上图左图所示，中间图也是一个单纯复合体，右图不是，因为13，是123的子集，但不在本集合中。
以下是一些更加激动人心的单纯复合体的例子：
• 图（Graphs）：一个（有限的、无向的、简单的）图是一个由顶点集合 V（其中的元素如前所述称为顶点）和一组由不同的顶点对组成的边集合 E⊆V×V 组成的对 (V,E)。每个图自动形成一个一维单纯复合体 K，其中 V=K0 且 E=K1。
• 实心单纯形（Solid Simplices）：对于每个整数 k≥0，实心 k - 单纯形是定义在顶点集合{0,1,...,k} 上的单纯复合体 Δ(k)，其单纯形是所有可能的顶点子集。
• 空心单纯形（Hollow Simplices）：对于每个整数 k≥1，空心 k - 单纯形（hollow k-simplex）用符号∂Δ(k) 表示，定义与实心 k - 单纯形完全相同，只是我们舍弃了唯一的k+1 维单形 {v0,...,vk}。因此，∂Δ(k) 的维数为 k-1。
下图就是图，实心2单纯形，空心2单纯形
到目前为止，一个单纯复合体的结构似乎纯粹是组合的——我们被给定了一个顶点的通用有限集合 V，并且我们可以选择任何 V 的子集合 K，只要满足定义 1.1 的两个约束条件。将这种视角从组合学扩展出去的第一步是正式地将单体与它们的子集相关联。
定义 1.2：给定单纯复合体 K 的两个单体 σ 和 τ，我们称 σ 是 τ 的一个面（face），记作 σ ≤ τ，当且仅当 σ 的每个顶点也是 τ 的顶点时。
对于单纯复合体 K 的一对单体 σ ≤ τ，我们将 τ 的维度 dim τ 减去 σ 的维度 dim σ 的差称为 σ 作为 τ 的一个面的余维数（codimension）；请注意，余维数始终是一个非负整数。
- 子复合体、闭包和过滤
子复合体、闭包和过滤是研究单纯复合体时的重要概念。以下是每个概念的简要概述：
子复合体：单纯复合体的子复合体是其单体的一个子集，该子集在取面时保持封闭。换句话说，如果一个单体在子复合体中，则它的所有面也必须在子复合体中。子复合体有助于研究单纯复合体的特定部分。
闭包：在单纯复合体中，一组单体的闭包是包含该组单体的所有单体的最小子复合体。它包括该组单体中的所有单体以及这些单体的所有面。闭包用于定义捕捉给定单体集合的最小子复合体。
过滤：单纯复合体的过滤是一系列嵌套的子复合体，其中每个子复合体包含前一个子复合体。过滤提供了一种通过系统顺序考虑其子复合体来研究单纯复合体演变的方法。过滤通常用于分析单纯复合体在不同尺度上的拓扑和几何特性。
根据单纯形之间的面关系，我们可以定义单纯复合体的子集，这些子集本身也是单纯复合体。
定义 1.3：设 K 是一个单纯复合体。如果集合 L 包含 K 中的单纯体，并满足以下性质：对于 L 中的每个单纯体 τ，在 K 中如果 σ 是 τ 的面，则 σ 也属于 L，则称 L 是 K 的一个子复合体。
通常情况下，对于子复合体 L ⊂ K，并不要求 K 的每个顶点都是 L 的顶点。
例 1.4：每个空 k-单纯体 ∂∆(k) 自然形成对应实体 k-单纯体 ∆(k) 的子复合体；给定单纯复合体的每个顶点自动成为子复合体。
当我们拿到某个单纯复合体 K 中一组单体的集合 K0 时，通常希望检查 K0 离成为 K 的子复合体有多远。在进行此类检查时，以下概念通常很有帮助。
定义 1.5：在单纯复合体 K 中，一组单体 K0 的闭包定义为满足 K0 ⊂ L 的最小子复合体 L。
显然，非空的单体子集合 K0 ⊂ K 构成一个子复合体，当且仅当它等于自己的闭包。应当注意，给定单体集合 K0 的闭包可能比 K0 大得多。强烈建议进行以下练习：如果 σ 是单纯复合体 K 中的一个 k-维单体，请证明 σ 在 K 中的闭包包含 2^k - 1 个单体。我们在这里特别感兴趣的是子复合体的升链。
定义 1.6：设 K 是一个单纯复合体；K 的一个长度为 n 的过滤是形式为 F1K ⊂ F2K ⊂ · · · ⊂ Fn−1K ⊂ FnK = K 的子复合体嵌套序列。
一般来说，中间子复合体 FiK 的维度不受 i 的限制。另一方面，为了有一个明确定义的长度概念，我们要求对于所有 i，FiK ≠ Fi+1K。
下图示了一个长度为四的单纯复合体过滤。需要检查的是每个面板是否包含一个真正的单纯复合体，并且这些单纯复合体在从左到右扫描时严格变大。
- 几何实现
几何实现（Geometric realization）是一个与单纯复合体相关的重要概念，在代数拓扑学和几何学中经常被讨论。
在数学中，给定一个抽象的单纯复合体，其几何实现是将这个抽象结构转化为一个实际的几何对象的过程。这个几何对象通常是一个欧几里德空间中的几何形状，比如一个多面体或流形。几何实现将单纯复合体的顶点映射到空间中的点，将边映射为线段，将面映射为三角形，以此类推。
通过几何实现，我们可以将抽象的单纯复合体转化为具体的几何结构，从而更好地理解和研究其性质和特征。几何实现在拓扑学、几何学、计算几何学等领域都有重要的应用，帮助我们研究空间形状、拓扑性质以及复杂结构的特征。
