回溯算法的去重问题

概述

在利用回溯算法去求子集、排列、组合等问题时，所给数组中如果包含重复元素，需要进行去重操作。常用的去重方法是使用used数组或集合。

对于上述子集、排列、组合等问题的求解方法是将数组转化为树的形式，利用递归和回溯的方法进行求解。去重操作主要处理的是在同一层的数据的重复操作。

例如：力扣90题子集问题，将其转换为树的形式以及去重操作示意图如下

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的 

子集

（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

used方法为设置一个bool类型的数组，数组中元素如果为false则表示在同一层使用过，如果为true表示在同一树枝(纵向)使用过。如果用set集合的方式，则如果索引到的元素在集合出现过，则表示在同一层使用过。两者不同的是used数组在函数参数定义及函数外定义，所占空间内存小，为O（n），set集合在函数中for循环外定义，每次递归需要再次展开内存，所占空间大，为O(n*2)。

例题

集合

数组形式,注意要进行排序

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool>& used) {
        result.push_back(path);
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
            // 而我们要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            path.push_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(nums, i + 1, used);
            used[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序
        backtracking(nums, 0, used);
        return result;
    }
};

集合形式

void trversal(vector<int>&nums,int index)
    { 
        result.push_back(path);
        if(index>=nums.size())
            return;
        unordered_set<int>uset;
        for(int i=index;i<nums.size();i++)
        {
            if(uset.find(nums[i])!=uset.end())//去重，同一层
                continue;
            path.push_back(nums[i]);
            uset.insert(nums[i]);
            trversal(nums,i+1);
            path.pop_back(); 
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
       // vector<bool>used(nums.size(),false);
        sort(nums.begin(),nums.end());
        trversal(nums,0);
        return result;
    }
};

全排列

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,1,2]
• 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]

示例 2：

• 输入：nums = [1,2,3]
• 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

提示：

• 1 <= nums.length <= 8
• -10 <= nums[i] <= 10

对于排列问题，和集合问题的不同点在于for循环的开始位置不同，集合问题为当前元素的下一个元素的位置，而排列问题一直为数组的起始位置，需要注意的是要加上元素是否使用的判断。

代码如下

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
            // 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            if (used[i] == false) {//未在树枝使用，可以加入到path数组中
                used[i] = true;
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums, used);
                path.pop_back();
                used[i] = false;
            }
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

// 时间复杂度: 最差情况所有元素都是唯一的。复杂度和全排列1都是 O(n! * n) 对于 n 个元素一共有 n! 中排列方案。而对于每一个答案，我们需要 O(n) 去复制最终放到 result 数组
// 空间复杂度: O(n) 回溯树的深度取决于我们有多少个元素