CGAL判断点在多边形内外

一、判断依据

点在区域判断的数学原理主要基于几何学和拓扑学。不同的方法可以用来判断一个点是否在一个区域（例如多边形、圆、任意形状的区域）内。这些方法背后的数学原理涉及向量计算、几何变换和拓扑学性质。根据具体应用场景和区域形状的不同，可以选择最合适的方法来判断点是否在区域内。

1. 射线法 (Ray-Casting Algorithm)

射线法是一种常用的方法，用于判断一个点是否在多边形内。其基本原理是：

• 从测试点出发，向某个方向发射一条无限长的射线。
• 计算射线与多边形的边的交点数。
• 如果射线与多边形边的交点数为奇数，则点在多边形内；如果交点数为偶数，则点在多边形外。

数学上，射线法利用了奇偶性交换原则：如果从一个点向外发射的射线穿过了多边形的边奇数次，那么点在多边形内；如果穿过了偶数次，那么点在多边形外。

2. 角度求和法 (Angle Summation Method)

3. 绕数法 (Winding Number Algorithm)

绕数法主要用于判断一个点是否在任意闭合曲线内。其基本原理是：

• 绕数是测试点相对于曲线的周长的总旋转量。
• 绕数为0则点在曲线外，非零则点在曲线内。

计算绕数时，我们考虑从测试点到曲线上各个点的向量，并计算这些向量的角度变化。总的角度变化除以 2π2\pi2π 就是绕数。

4. 半平面法 (Half-Plane Method)

半平面法用于判断点是否在简单凸多边形内：

• 对于每条多边形边，定义一个向量并计算测试点相对于该向量的方向。
• 如果所有向量的方向一致，则点在多边形内；否则，点在多边形外。

5. 重心坐标法 (Barycentric Coordinates Method)

重心坐标法用于判断点是否在三角形内：

• 计算测试点在三角形三个顶点上的重心坐标。
• 如果三个重心坐标都在0和1之间（包含0和1），则点在三角形内；否则，点在三角形外。

6. 圆形区域判断

对于圆形区域：

• 计算测试点与圆心的距离 ddd。
• 如果 ddd 小于等于半径 rrr，则点在圆内；否则，点在圆外。

二、使用CGAL来判断一个点是否在多边形内

1. 我们定义了一个简单的二维多边形 polygon。
2. 我们定义了一个测试点 test_point。
3. 使用 polygon.bounded_side(test_point) 函数来判断点是否在多边形内。该函数返回以下值之一：
   • CGAL::ON_BOUNDED_SIDE: 点在多边形内。
   • CGAL::ON_BOUNDARY: 点在多边形边界上。
   • CGAL::ON_UNBOUNDED_SIDE: 点在多边形外。

运行这个程序将会输出 点在多边形内，因为测试点 (3, 3) 在定义的多边形 (0, 0), (5, 0), (5, 5), (0, 5) 内。

#include <CGAL/Simple_cartesian.h>
#include <CGAL/Polygon_2.h>
#include <iostream>

typedef CGAL::Simple_cartesian<double> Kernel;
typedef Kernel::Point_2 Point;
typedef CGAL::Polygon_2<Kernel> Polygon;

int main() {
    // 定义多边形
    Polygon polygon;
    polygon.push_back(Point(0, 0));
    polygon.push_back(Point(5, 0));
    polygon.push_back(Point(5, 5));
    polygon.push_back(Point(0, 5));

    // 定义测试点
    Point test_point(3, 3);

    // 判断点是否在多边形内
    if (polygon.bounded_side(test_point) == CGAL::ON_BOUNDED_SIDE) {
        std::cout << "点在多边形内" << std::endl;
    } else if (polygon.bounded_side(test_point) == CGAL::ON_BOUNDARY) {
        std::cout << "点在多边形边界上" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "点在多边形外" << std::endl;
    }

    return 0;
}