随机过程基础：3.平稳过程（1）

一、平稳过程

        在统计学和信号处理中，平稳过程指的是随机过程的统计属性（例如均值、方差等）不随时间变化。这意味着这个过程是不显时间依赖性的，或者说它的行为在时间序列的任何部分都是统一的。

1.表达式

        对于一个平稳过程 X(t) X(t)，以下条件必须满足：

1. 均值不变:，这里 μ 是常数。

2. 方差不变:，这里 也是常数。

3. 自协方差函数与时间差有关:

   其中  是自协方差函数，它只依赖于时间间隔 。

2.示例

1. 随机游走（Random Walk）: 虽然随机游走在某些形式上不是平稳过程（如无限方差的简单随机游走），但特定类型的随机游走例如带漂移和/或方差稳定的随机游走可以通过适当的差分转换为平稳过程。例如，一阶差分的随机游走可以转换为白噪声。

2. 正弦波信号与随机相位: 如果一个正弦波信号的频率和振幅固定，但是其相位是随机的，那么这样的信号可以视为一个平稳过程。因为随机相位使得信号的统计特性（如均值和自相关）不随时间变化。

3. AR(1)过程（AutoRegressive process of order 1）: 这是一个简单的自回归模型，其中每个值主要由它之前的一个值决定，并受到白噪声的影响。如果AR(1)模型的系数绝对值小于1，这个过程是平稳的。公式可以表示为  ，其中 ∣ϕ∣<1 且 是白噪声。

4. 移动平均过程（MA）: 这种类型的过程是通过对白噪声过程的当前值和过去几个值的线性组合来构建的。例如，MA(1)过程可以写成 ​，其中 是白噪声。

二、 遍历性定理

        遍历性定理是平稳过程中的一个非常重要的概念，它关注的是能否从单个足够长的时间序列样本中准确估计整个过程的统计特性。如果一个过程是遍历的，那么单个长时间的观测序列就足以提供对整个过程统计特性的可靠信息。

1.表达式

        对于一个平稳过程 X(t)，如果我们有：

        这表明通过足够长时间的观测，时间平均值会收敛到过程的期望值，结果有点类似于大数定律。

2.示例

       考虑一个简单的零均值白噪声过程 X(t)。虽然在任意短的时间内其输出看起来可能非常随机，但如果我们记录足够长的时间，这个过程的时间平均值将趋于零，这是它的均值。因此，白噪声过程在理想情况下是遍历的。

        白噪声可以通俗地理解为一种包含所有频率成分且功率在整个频率范围内均匀分布的噪声。下面是一些更易于理解的比喻和解释：如果你曾经听过老式电视机在没有信号时发出的“嘶嘶”声，那就是一种白噪声。这种声音包含了人耳能听到的所有频率的声音，所以听起来是均匀的“嘶嘶”声。白噪声的名字来源于光学中的“白光”。白光是由所有颜色的光混合而成的，白噪声类似，它是由所有频率的声音混合而成的。

        从统计学和数学的角度来看，白噪声是一种信号，其中每个时间点的值是随机且独立的。换句话说，在一个白噪声序列中，你无法根据过去的值来预测未来的值。