完全背包

完全背包

背包容量为$V$，有$n$种物品，每种物品有无限多个，第$i$种物品体积为$c_i$，价值为$w_i$，怎样装填背包使总价值最大？

实际上，完全背包并不代表每种物品可以真正装填“无限”多个，因为存在背包总体积这一限制因素。

分析:闫氏DP分析法

• 状态表示

  • 集合：定义数组$dp[i][j]$，表示当前选取方案的价值。第$i$行表示只考虑前$i$种物品的放置情况，$j$表示当前选取体积不超过$j$的方案集合。$init(dp[0][i],dp[j][0])=0$
  • 属性：$Max$

• 状态计算：$dp[i][j]$：对于第$i$种物品：

  • 不可选第$i$种物品:当$v<c[i]$时，无法装入背包，背包剩余容积不变。集合状态仍为$[1,i-1]$，直接继承自第$i-1$种物品且背包容积仍为$j$方案的价值。$dp[i][j]=dp[i-1][j]$
  • 可选第$i$种物品：
    • 不选第$i$种物品：若选第$i$种物品无法保证最优解，则不选，背包剩余容积不变。集合状态仍为$[1,i-1]$，直接继承自第$i-1$种物品且背包容积仍为$j$方案的价值。$dp[i][j]=dp[i-1][j]$
    • 选$[1,...,k,...+\infty ]$个第$i$种物品：选第$i$种物品可能导致产生最优解，则选。集合状态变为$[1,i]$，因为第$i$种物品可被选多次，设选$k$个第$i$种物品，则继承自第$i$种物品且背包容积$j$减少$k\ast c[i]$方案的价值，并加$k\ast w[i]$。对于每一次选第$i$种物品，为$dp[i][j]=dp[i][j-c[i]]+w[i]$

• 状态转移方程式：$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+w[i])$

遍历顺序：物品和背包谁先遍历都可以

void init(){
    for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=0;
    for(int i=0;i<=v;i++) dp[0][j]=0;
}
void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=v;j++)
            if(c[j]<v) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+w[i]);
    		else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}

时间复杂度$O(n^3)$，空间复杂度$O(nv)$

滚动优化

交替滚动

extern int dp[2][v];
void dp(){
    int work=0,old=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        swap(work,old);
        for(int j=1;j<=v;j++)
            if(c[i]<=j) dp[work][j]=max(dp[old][j],dp[work][j-c[i]]+w[i]);
    		else dp[work][j]=dp[old][j];
    }
}

自我滚动

遍历顺序：物品背包谁先遍历都可以，且均为顺序遍历

extern int dp[v];
void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=v;j++)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}