参数式确定的函数的导数公式及其推导过程

参数式确定的函数是指通过参数 $t$ 来表示的函数，通常形式为 $x=f(t)$ 和 $y=g(t)$，其中 $t$ 是参数。在这种形式下，函数 $y$ 对 $x$ 的导数可以通过链式法则来求得。

参数式函数的导数公式

假设 $x=f(t)$ 和 $y=g(t)$ 是两个可微函数，并且 $ f(t) $ 是严格单调的（即 $f^{\prime }(t)\ne 0$），那么 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$ 可以通过以下公式求得：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

推导过程

1. 链式法则：根据链式法则，$y$ 对 $x$ 的导数可以表示为 $y$ 对 $t$ 的导数与 $x$ 对 $t$ 的导数的比值：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

2. 具体表达式：将 $y=g(t)$ 和 $x=f(t)$ 代入上式，得到：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

例子

考虑一个具体的例子，假设参数式函数为：

$$x=\cos t$$
$$y=\sin t$$

我们要求 $y$ 对 $x$ 的导数。

1. 求导数：首先求 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：

   $$\frac{dx}{dt}=-\sin t$$
   $$\frac{dy}{dt}=\cos t$$

2. 应用公式：将这些导数代入参数式函数的导数公式：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t$$

注意事项

• 在应用参数式函数的导数公式时，必须确保 $f^{\prime }(t)\ne 0$，否则分母为零，导数不存在。
• 参数 $t$ 的范围通常需要根据具体问题来确定，以确保 $x$ 和 $y$ 的值在合理的范围内。

高阶导数

对于高阶导数，可以通过重复应用上述公式来求得。例如，二阶导数 $\frac{d^{2y}}{d{x}^2}$ 可以通过以下步骤求得：

1. 求一阶导数：首先求 $\frac{dy}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

2. 求二阶导数：然后对 $\frac{dy}{dx}$ 再求导，注意此时 $x$ 对 $t$ 的导数 $f^{\prime }(t)$ 也参与其中：

   $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}\right)\cdot \frac{dt}{dx}$$

   其中 $$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{f^{\prime }(t)}$$ 所以：

   $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}\right)\cdot \frac{1}{f^{\prime }(t)}$$

   进一步展开：

   $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{f^{\prime }(t)g^{\prime \prime }(t)-g^{\prime }(t)f^{\prime \prime }(t)}{(f^{\prime }(t){)}^3}$$