用 微 / 积分思想妙解关于等比数列的和

同理，也是微积分思想：

1. 求 (\sum_{k=1}^n q^k) 的和：
   我们知道几何级数的求和公式：
   $$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\text{(对于 }q\ne 1\text{)}$$
   那么，(\sum_{k=1}^n q^k) 就是：
   $$\sum _{k=1}^n{q}^k=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$$

2. 求导数：
   现在考虑函数 (S(q) = \sum_{k=1}^n q^k)，即：
   $$S(q)=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$$
   为了求 (\sum_{k=1}^n k q^{k-1}) 的和，我们可以对 (S(q)) 进行求导。

3. 对 (S(q)) 进行变换：
   考虑函数 (T(q) = \sum_{k=1}^n k q^{k-1})，这是 (\sum_{k=1}^n q^k) 对 (q) 的导数：
   $$T(q)=\frac{d}{dq}\left(\sum _{k=1}^n{q}^k\right)=\frac{d}{dq}\left(\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\right)$$

4. 对 (S(q)) 求导：
   $$\frac{d}{dq}\left(\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\right)$$
   使用商的导数法则，设 (u = q - q^{n+1}) 和 (v = 1-q)，那么：
   $$T(q)=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })}{v^2}$$
   计算各部分的导数：
   $$u^{\prime }=1-(n+1)q^n$$
   $$v^{\prime }=-1$$
   代入商的导数法则：
   $$T(q)=\frac{(1-(n+1)q^n)(1-q)-(q-q^{n+1})(-1)}{(1-q{)}^2}$$
   简化得到：
   $$T(q)=\frac{(1-(n+1)q^n-q+(n+1)q^{n+1})+q-q^{n+1}}{(1-q{)}^2}$$
   $$T(q)=\frac{1-(n+1)q^n+(n+1)q^{n+1}}{(1-q{)}^2}$$

5. 最终结果：
   通过对几何级数求导，我们得到：
   $$\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}=\frac{1-(n+1)q^n+n{q}^{n+1}}{(1-q{)}^2}$$

这样，我们就用 LaTeX 格式表示了 (\sum_{k=1}^n k q^{k-1}) 的求解步骤和最终结果。