概率的三条基本公理 | 布尔不等式的应用（举例）

概率论的三条基本公理由俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）在1933年提出，被称为柯尔莫哥洛夫公理。它们构成了现代概率论的基础。这三条公理如下：

公理 1：非负性

公理 2：规范性

公理 3：可加性

布尔不等式

对于任意的事件集合 { A 1 , A 2 , … , A n } \{A_1, A_2, \ldots, A_n\} {A1​,A2​,…,An​}，有以下不等式成立：
$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

例子 1：保险公司

假设一家保险公司承保了多个独立事件，如不同家庭的火灾事件。让我们假设这些家庭是彼此独立的，并且每个家庭发生火灾的概率分别是 $$P(A_1)=0.01$$, $$P(A_2)=0.02$$, 和 $$P(A_3)=0.03$$。我们想计算至少有一个家庭发生火灾的概率上限。

根据布尔不等式，有：
$$P(A_1\cup A_2\cup A_3)\le P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=0.01+0.02+0.03=0.06$$
因此，至少有一个家庭发生火灾的概率不超过 0.06。

例子 2：质量控制

假设某工厂生产的产品有三个独立的缺陷类别，分别是 A , B 和 C ，其发生的概率分别为 P(A) = 0.05 , P(B) = 0.03 , 和 P( C) = 0.02 。质量控制部门需要估算至少出现一个缺陷的概率。

根据布尔不等式，有：
$$P(A\cup B\cup C)\le P(A)+P(B)+P(C)=0.05+0.03+0.02=0.10$$
因此，至少出现一个缺陷的概率不超过 0.10。

例子 3：网络安全

假设一个公司有三个独立的网络服务器，它们被攻击的概率分别是 $$P(A_1)=0.1$$, $$P(A_2)=0.2$$, 和 $$P(A_3)=0.15$$。公司想估算至少一个服务器被攻击的概率上限。

根据布尔不等式，有：
$$P(A_1\cup A_2\cup A_3)\le P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=0.1+0.2+0.15=0.45$$
因此，至少一个服务器被攻击的概率不超过 0.45。

通过这些例子可以看到，布尔不等式在评估风险和计算概率上界时非常有用，尤其是在处理多个独立事件的情况下。