质数
质数:在大于1的整数中,如果只包含1和它本身这两个约数,就被称之为质数
(1)质数的判定——试除法
bool is_prime(int n) {
if (n < 2) return false;
for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {
if(n % i == 0) return false;
}
return true;
}
时间复杂度O(sqrt(n)) 一定是sqrt(n)
(2)分解质因数——试除法
从小到大枚举所有数
n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子,因此可以单独把质因子拿出来,这样就可以把时间复杂度降低到sqrt(n) (一般logn ~ sqrt(n))
void divide(int x) {
for(int i = 2; i <= n / i; i ++ ) {
if(n % i == 0) {
int s = 0;
while(n % i == 0) {
n /= i;
s ++;
}
printf("%d %d \n", i, s);
}
}
if(n > 1) printf("%d %d\n", n, 1);
puts("");
}
(3)筛质数
a. 埃式筛法
时间复杂度O(nloglogn)
void get_primes(int n ) {
for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if(!st[i]) {
// 如果没有被筛过,说明是质数
primes[cnt ++ ] = i;
//把每个质数的倍数筛掉
for(int j = i + i; j <= n; j += i ) st[j] = true;
}
}
}
b. 线性筛法
保证每个数只会被它的最小质因子筛掉
void get_primes(int n) {
for(int i = 2; i <= n; i ++ ) {
//如果是质数,放到数组中
if(!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
//从小到大枚举所有质因子
for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) {
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0) break; //primes[j]是i的最小质因子
}
}
}
当n = 1e6,线性筛法和埃式筛法时间差不多,当n = 1e7,线性筛法更快