IsotonicRegression、LinearRegression、RandomForestRegressor与FMRegressor

IsotonicRegression

核心原理：
保序回归（Isotonic Regression）是一种非参数回归方法，适用于处理有序数据。它试图在保持数据顺序的同时，拟合出一个单调非减或非增的函数。
数学表达式：
保序回归的目标是找到一个函数 $(f(\mathbf{x}))$，使得对于给定的数据点 $(({\mathbf{x}}_i,y_i))$，满足以下条件：
$$f({\mathbf{x}}_i)\le f({\mathbf{x}}_{i+1})\text{或}f({\mathbf{x}}_i)\ge f({\mathbf{x}}_{i+1})$$
同时最小化损失函数，常用的损失函数为均方误差（Mean Squared Error）或者基于秩的损失函数。

LinearRegression

核心原理：
线性回归是一种基本的线性模型，用于建模响应变量 $(y)$ 与解释变量 $(\mathbf{X})$ 之间的线性关系。它假设响应变量 $(y)$ 与解释变量之间的关系可以通过一个线性组合来描述。
数学表达式：
线性回归模型的基本形式是：
$$\hat{y}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\dots +{\beta }_p{x}_p$$
其中：

• $(\hat{y})$ 是预测值。
• $({\beta }_0)$ 是截距。
• $({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_p)$ 是模型的系数。
• $(x_1,x_2,\dots ,x_p)$ 是解释变量（特征）。

RandomForestRegressor

核心原理：
随机森林回归（Random Forest Regression）是一种集成学习方法，通过训练多棵决策树来改善回归预测的准确性。它结合了随机森林的思想和回归树的概念。
数学表达式：
随机森林回归的预测结果可以表示为：
$$\hat{y}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{f}_i(\mathbf{x})$$
其中：

• $(\hat{y})$ 是预测值。
• $(N)$ 是森林中树的数量。
• $(f_i(\mathbf{x}))$ 是第 $(i)$ 棵树的预测函数。
  每棵树的预测函数通常由决策树的结构 $(T_i)$ 和叶节点的预测值 $(c_{im})$ 组成：
  $$f_i(\mathbf{x})=\sum _{m=1}^{M_i}{c}_{im}\cdot I(\mathbf{x}\in R_{im})$$
  随机森林通过集成多个决策树的预测结果来减少过拟合风险，并提高回归预测的稳定性和准确性。

FMRegressor

核心原理：
因子分解机（Factorization Machines，FM）回归是一种基于因子分解的回归方法，适用于高维稀疏数据。它在回归任务中引入了两两交互项，以捕获特征之间的非线性关系。
数学表达式：
FM 回归模型的预测结果可以表示为：
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n⟨{\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j⟩x_i{x}_j$$
其中：

• $(\hat{y})$ 是预测值。
• $(w_0)$ 是偏置项。
• $(w_i)$ 是第 $(i)$ 个特征的线性权重。
• $({\mathbf{v}}_i)$ 是第 $(i)$ 个特征的隐向量。
• $(⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 表示向量的内积。
  FM 模型通过优化线性项和交互项之间的参数来建模数据，并能够有效处理高维稀疏特征下的回归问题。