【算法——动态规划（从dfs回溯开始推导dp）】

基础理论

递归：

递：大问题分解子问题的过程  ； 归：产生答案 

dp：只进行归；用已知的最底层的（递归的边界，搜索树的底），推出未知

《视频索引》

一句话：

dp数组（不一定是数组，也可以是有限数间的来回递推）

递推关系：dfs向下递归的公式

dp数组初始化：递归的边界

动态规划题目的基础就是：回溯——记忆化——dp（一层比一层效率高）

例：

例题

打家劫舍

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>

vector<int>nums = { 10,11,7,12 };

vector<int>memo(100, -1);

int dfs(int index)    //暴力
{
	if (index >= nums.size()) return 0;
	return max( dfs(index + 2) + nums[index], dfs(index + 1) );  //这两个dfs分别代表选和不选,两种情况下的max
}

int mem(int index)   //记忆化
{
	if (memo[index] != -1) return memo[index];   //这个数下面的最大值我们已经记录了，直接返回即可
	if (index >= nums.size()) return 0;
	return memo[index]= max(mem(index + 2) + nums[index], mem(index + 1));  //记录当前下面子树最大值
}

int main()
{
	cout << "暴力:"<< dfs(0) << endl << "记忆化:" << mem(0) << endl;

	vector<int>dp(nums.size(), 0);  //dp.1          dp[i]就是当前房屋的max
	dp[0] = nums[0]; dp[1] = max(nums[0],nums[1]);
	for (int i = 2; i < nums.size(); i++)
		dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);  //画图,一定要画图,用: 10 11 7 12等试试看,会很通透


	int a = nums[0], b = max(nums[0], nums[1]), c = 0;    //dp.2
	for (int i = 2; i < nums.size(); i++)    
	{
		c = max(a + nums[i], b);
		a = b;
		b = c;
	}

	cout << "dp1:" << dp[nums.size() - 1] << endl;

	cout << "dp2:" << b << endl;

	return 0;
}

爬楼梯(斐波那契)

递推草稿&视频：动态规划(dp)入门 | 这tm才是入门动态规划的正确方式! | dfs记忆化搜索 | 全体起立!!_哔哩哔哩_bilibili

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<chrono>

vector<int>memo(100, -1);
int mem(int index)      //记忆化(剪枝)
{
	if (memo[index] != -1) return memo[index]; 
	if (index == 1) return 1;
	if (index == 2) return 2;
	memo[index] = mem(index - 1) + mem(index - 2);

	return memo[index];
}

int dfs(int index)  //暴力
{
	if (index == 1) return 1;
	if (index == 2) return 2;

	return dfs(index - 1) + dfs(index - 2);
}


int time(int(*k)(int),int n)  //用时测试函数
{
	auto start = std::chrono::steady_clock::now();
	k(n);
	auto end = std::chrono::steady_clock::now();
	return std::chrono::duration_cast<std::chrono::milliseconds>(end - start).count();
}

int main()
{
	int n; cin >> n;

	cout << dfs(n) << endl << mem(n) << endl;

	memo.clear();  memo.resize(100,-1);

	cout <<"暴力用时:"<< time(dfs, n) << "   " <<"记忆化用时:" << time(mem, n) << endl;

	vector<int>dp(n, 0);  //dp   当然也可以用三个变量来互相推
	dp[0] = 1, dp[1] = 2;
	for (int i = 2; i < n; i++)
		dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
	cout << dp[n - 1] << endl;

	return 0;
}

数字三角形