初中数学代数式求值
若 x + y = 5 x+y=5 x+y=5， x y = 3 xy=3 xy=3，求 ( x 2 + x + 9 ) ( y 2 + y + 9 ) \sqrt{(x^2+x+9)(y^2+y+9)} (x2+x+9)(y2+y+9)的值？
解
对已知条件进行升幂
对 x + y = 5 x+y=5 x+y=5分别乘以 x , y x,y x,y
{ x × y + y × y = 5 × y x × x + y × x = 5 × x ⟹ { x y + y 2 = 5 y x 2 + y x = 5 x ⟹ { y 2 = 5 y − x y x 2 = 5 x − y x \begin{cases} x\times y+y\times y=5\times y &\text{ } \\ x\times x+y\times x=5\times x &\text{ } \end{cases}\\ \Longrightarrow\begin{cases} xy+y^2=5y &\text{ } \\ x^2+yx=5x &\text{ } \end{cases}\\ \Longrightarrow\begin{cases} y^2=5y-xy &\text{ } \\ x^2=5x-yx &\text{ } \end{cases} {x×y+y×y=5×yx×x+y×x=5×x ⟹{xy+y2=5yx2+yx=5x ⟹{y2=5y−xyx2=5x−yx
产生的 x y xy xy 和 y x yx yx 使用 x y = 3 xy=3 xy=3 进行替换
{ y 2 = 5 y − 3 x 2 = 5 x − 3 \begin{cases} y^2=5y-3 &\text{ } \\ x^2=5x-3&\text{ } \end{cases} {y2=5y−3x2=5x−3
对题目先进行降幂
先降幂，然后使用乘法分配律，最后带入已知条件。
( x 2 + x + 9 ) ( y 2 + y + 9 ) = ( 5 x − 3 + x + 9 ) ( 5 y − 3 + y + 9 ) = ( 6 x + 6 ) ( 6 y + 6 ) = 6 ( x + 1 ) ( y + 1 ) = 6 x y + 1 + x + y = 6 3 + 1 + 5 = 6 9 = 18 \begin{equation} \begin{split} &\sqrt{(x^{2}+x+9)(y^2+y+9)}\\ &=\sqrt{(5x-3+x+9)(5y-3+y+9)}\\ &=\sqrt{(6x+6)(6y+6)}\\ &=6\sqrt{(x+1)(y+1)}\\ &=6\sqrt{xy+1+x+y}\\ &=6\sqrt{3+1+5}\\ &=6\sqrt{9}=18 \end{split} \end{equation} (x2+x+9)(y2+y+9)=(5x−3+x+9)(5y−3+y+9)=(6x+6)(6y+6)=6(x+1)(y+1)=6xy+1+x+y=63+1+5=69=18
