方差的计算（总体方差与样本方差）

方差是数据集中的各个数据与其均值之间差值的平方的平均值。方差的计算公式如下：

对于总体数据（即所有数据）：

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

其中：

• $${\sigma }^2是总体方差。$$
• $$N是数据的总个数。$$
• $$x_i是第i个数据点。$$
• $$\mu 是数据的均值，即$$ $$\mu =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i$$

对于样本数据（即从总体中抽取的部分数据）：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

其中：

• $$s^2是样本方差。$$
• $$n是样本数据的个数。$$
• $$x_i是第i个样本数据点。$$
• $$\bar{x}是样本数据的均值，$$ 即 $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

总结起来，方差的公式可以概括为：

总体方差：

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

样本方差：

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

注意：样本方差的分母用 ( n-1 ) 而不是 ( n )，这是因为在计算样本均值时已经用掉了一个自由度（即数据点中有一个点是确定的）。使用 ( n-1 ) 可以调整这个偏差，使得样本方差更准确地反映总体方差。这种调整称为“无偏估计”，它确保在大量重复抽样的情况下，样本方差的平均值与总体方差相等。简单来说， ( n-1 ) 让我们的估计更加准确、公正。