VOJ 圣诞树 题解 最短路径 dijkstra算法

圣诞树

题目描述

圣诞节快到了，小明准备做一棵大圣诞树。

这棵树被表示成一组被编号的结点和一些边的集合，树的结点从 1 到 n 编号，树的根永远是 1。每个结点都有一个自身特有的数值，称为它的权重，各个结点的权重可能不同。对于一棵做完的树来说，每条边都有一个价值 $ve$，若设这条边 e 连接结点 i 和结点 j，且 i 为 j 的父结点（根是最老的祖先），则该边的价值 $ve=sj\ast we$，$sj$ 表示结点 j 的所有子孙及它自己的权重之和，$we$ 表示边 e 的权值。

现在小明想造一棵树，他有 m 条边可以选择，使得树上所有边的总价值最小，并且所有的点都在树上，因为小明喜欢大树。

输入描述

第一行输入两个整数 n 和 m (0≤n,m≤50,000），表示结点总数和可供选择的边数。
接下来输入一行，输入 n 个整数，依次表示每个结点的权重。
接下来输入 m 行，每行输入 3 个正整数 a,b,c（1≤a,b,≤n,1≤c≤10,000），表示结点 a 和结点 b 之间有一条权值为 c 的边可供造树选择。

输出描述

输出一行，如果构造不出这样的树，请输出 No Answer，否则输出一个整数，表示造树的最小价值。

样例 #1

样例输入 #1

4 4
10 20 30 40
1 2 3
2 3 2
1 3 5
2 4 1

样例输出 #1

370

思路

将总价值的含义转化一下，总价值就等于各个结点的权值与该结点到根结点路径长度的乘积之和。所以问题就被转化为了求根结点到各个结点的最短路径。采用 $dijkstra$ 算法求最短路径即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
typedef long long ll;

const int maxn = 5e4 + 6;
const int maxm = 5e4 + 6;

struct edge
{
    int to, len; // to为边的指向，len为边的长度即边权
};

vector<edge> e[maxn]; // 存储以点i为起点的边

struct node
{
    i64 dis;                            // dis为目前到该点的最短路长度
    int num;                            // num为该点序号
    bool operator>(const node &a) const // 小根堆中的大于号重载
    {
        return dis > a.dis;
    }
};

i64 minDis[maxn];                                     // 从起点到第i个点的最短路长度
bool vis[maxn];                                       // 第i个点是否已确定最短路长度
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> pq; // 还未确定最短路长度的点存放在小根堆中

void dijkstra(int n, int s) // n为点的个数，s为起点
{
    // 将最短路距离初始化为无穷大
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        minDis[i] = 1e10;
    }
    minDis[s] = 0; // 起点到起点的最短路长度为0
    pq.push({0, s});
    while (!pq.empty())
    {
        int u = pq.top().num; // 有向边的起点
        pq.pop();
        if (vis[u]) // 若该点已确定最短路长度，跳过
            continue;
        vis[u] = 1;
        for (edge eg : e[u]) // 遍历以该点为起点的所有有向边
        {
            int v = eg.to;
            int w = eg.len;
            if (minDis[v] > minDis[u] + w) // 更新最短路长度
            {
                minDis[v] = minDis[u] + w;
                pq.push({minDis[v], v});
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    // 问题转化为求根1到各个结点的最短路径长度
    int n, m, s; // 点的个数，有向边的个数，出发点的编号
    cin >> n >> m;
    vector<int> a(n + 1); // 点的权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    s = 1; // 起点为根结点
    int u, v, w;
    while (m--)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        e[u].push_back({v, w});
        e[v].push_back({u, w});
    }
    dijkstra(n, s);
    i64 ans = 0;
    bool ok = 1; // 是否能使得所有点都在树上
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (minDis[i] == 1e10) // 最短路径为无穷大，说明无法使该结点连接到树上，所以构造不出包含所有结点的树
        {
            ok = 0;
            break;
        }
        ans += a[i] * minDis[i];
    }
    if (ok)
        cout << ans << '\n';
    else
        cout << "No Answer\n";

    return 0;
}