数据结构简单介绍、算法简单介绍、算法复杂度、时间复杂度等的介绍

前言

数据结构简单介绍、算法简单介绍、算法复杂度、时间复杂度等的介绍

一、什么是数据结构

数据结构是计算机存储，组织数据结构的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

二、什么是算法

算法: 简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

三、算法复杂度

衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的。即时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
• 空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间
• 随着技术发展，计算机存储容量变得非常大，已经不是非常关注空间复杂度，而是更关注时间复杂度。

1. 时间复杂度

① 时间复杂度的定义

• 算法的时间复杂度是一个函数(函数式)，一个算法执行所耗费的时间，理论上是不能算出来的，只有运行程序才能知道。
• 但是一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例。
• 所以算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

② 大O的渐进表示法

实际计算时间复杂度，不计算精确的执行次数，只需要计算大概执行次数（量级或阶数），我们用大O的渐进表示法。

• 时间复杂度: O(N),习惯用N表示

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

int main()
{
	int count = 0;
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}

	printf("%d\n", count);
}

• 上述代码执行 M 次 相当于是 10 次， 也就是函数执行的量级是10（常数级），常数级用O(1)表示

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}

	printf("%d\n", count);
}

• 上述代码执行 (2 * N + M)次， 只保留高阶项
• 高阶项存在且不是1，去除常数。
• （2 * N）次，所以Func2的时间复杂度是： O(N)。

有些算法的时间复杂度存在最好、最坏和平均的情况。
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

实例如下：

实例1:

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

• 上述Func4的时间复杂度是：O(1)

实例2:

const char * strchr ( const char * str, int character );

• 上述strchr 的时间复杂度是O(N)
• 按最坏的情况算

实例3:

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 1; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}

		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

• 上述BubbleSort的时间复杂度
• 若数组本来就有序(最好情况),则时间复杂度为O(N)
• 若数组无序(最坏情况)，则时间复杂度为O(N^2)
• 时间复杂度为O(N^2)

实例4:

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);

	int begin = 0;
	int end = n-1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin) / 2);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}

	return -1;
}

• 上述二分法时间复杂度为 O(logN) 这里的log是以2为底

实例5:

long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
        return 1;
    
    return Fac(N-1)*N;
}

• 上述代码Fac(N) , Fac(N-1), Fac(N-2), …F(0), 共N+1次，所以时间复杂度是O(N)

实例6:

long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
        return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

• 上述代码调用会调 2 ^ N次，所以时间复杂度为 O(2 ^ N)

实例7

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}

	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

• 上述Func3的时间复杂度是O(M + N)
• 若 M >> N, 则时间复杂度为 O(M)
• 若 N >> M, 则时间复杂度为 O(N)
• 若 M = N, 则时间复杂度为 O(M)或O(N)
• 若没有说明，时间复杂度为O(M + N)

总结

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