【机器学习300问】80、指数加权平均数是什么？

        严格讲指数加权平均数并不是机器学习中的专有知识，但他是诸多梯度下降优化算法的基础，所有我打算专门写一篇文章来介绍这种计算平均数的方法。还是老规矩，首先给大家来两个例子感受一下什么是指数加权平均数。

一、两个例子感性理解什么是指数加权平均数

（1）记录体重平均值

        假设你每天都在记录你的体重，想要了解一段时间内的体重变化趋势。传统的平均方法会把所有天数的体重加起来再除以天数，得到一个“平均水平”。但这种方法忽略了最近体重变化的重要性。

        指数加权平均就像是给你的体重记录本添上了一个“记忆偏好”。它更看重最近的数据，对过去的数据给予逐渐减小的重视。就像是你在回顾体重记录时，对于昨天的体重记得很清楚，上周的体重记忆就开始模糊了，而一个月前的体重就只留下个大概印象。

（2）拍照动态模糊

        假设你拿着一个相机在拍摄一段长时间的动态场景，如果你希望既能捕捉到最近发生的动作，又不完全丢弃过去的画面，你可能会选择使用一个“动态模糊”效果。在这个效果下，最近的画面是清晰的，而过去的且渐趋远去的画面则越来越模糊。

二、指数加权平均数的定义

        指数加权平均数（Exponential Weighted Moving Average，EWMA）在数学上是这样定义的。设为在时间点的指数加权平均数，而为在时间点的实际值。EWMA通过以下递归公式计算得出：

在这个公式中：

符号	描述
	一个介于 0 和 1 之间的权重衰减因子（也称为平滑因子），它决定了过去观测值的影响程度。越接近 1，之前所有数值的影响就越“长命”，平均数就越平滑；越小，之前数值的影响就迅速减少，使得EWMA对最近的变化更加敏感。
	前一时刻的EWMA值。
	当前时刻的实际数值。
	当前时刻的EWMA值。

        这种计算方式特别适用于处理时序数据，用于平滑短期波动，并能够更快地捕捉到长期趋势的变化。在时间序列分析、金融市场分析和深度学习中的某些优化算法，比如梯度下降的动量方法中，指数加权平均数被广泛使用。

三、实际拿个例子计算一下

某城市4月份30天气温数据如下表： 

画出30天最高温度的散点图，X轴是日期，Y轴是最高温度：

第1天：

• 最高温度：18℃
• 由于是第一天，我们将设为当天的实际最高温度：

第2天：

• 最高温度：20℃
• 使用EWMA计算公式，以作为前一日的EWMA值，和作为最高温度：

第3天：

• 最高温度：16℃
• 类似地，我们使用作为前一日的EWMA值，和作为最高温度：