学习记录之数学表达式（4）

八、min 与 argmin

• min 和 argmin 在机器学习中常用；
• max 和argmax 同理；

8.1 min

• min 是 minimal 的缩写，用于获得集合中的最小值，如： min ⁡ { 3 , 1 , 9 , 8 } = 1 \min \{3,1,9,8\}=1 min{3,1,9,8}=1，源码为：\min {3,1,9,8}=1，即 \min 是定义好的一种符号；
• min 可以与向量/矩阵配合使用，如：给定向量 $\mathbf{x}=[3,1,9,8]$ ，则：${\min }_{1\le i\le 4}{\mathbf{x}}_i=1$，源码为：\min_{1 \le i \le 4} \mathbf{x}_i = 1，本质与前面的集合方式相同；
• min 可以和函数配合使用，如：令 $f(x)=x^2+x+1$，${\min }_{-1\le x\le 1}f(x)$ 表示 $x$ 取 $[-1,1]$ 区间的任意数，这些函数值构成了一个集合（重复元素只算一次），最终取最小的元素，源码为：\min_{-1 \le x \le 1} f(x)，其中 \le 表示 less than or equal，也可以写作 \leq；

8.2 argmin

• argmin 是 argument minimal 的缩写，用于获得使函数取得最小值的参数；
• \arg\min 总是可用的，若 Latex 模板不支持 \argmin，可以在 tex 文件头部加上：\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}；
• argmin 可以与向量/矩阵配合使用，这时参数可以是向量下标，如：给定向量 $\mathbf{x}=[3,1,9,8]$，则 $\mathrm{argmin}{\mathbf{x}}_i=2$ 的值是使得 ${\mathbf{x}}_i$ 最小的参数值，即下标 $i$ 的值，给定矩阵：
  $$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc}3& 2& 9& 8\\ 7& 6& 1& 4\end{array}\right]$$
  源码为：\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} 3&2&9&8 \ 7&6&1&4 \end{matrix} \right]，则 ${\arg }_{i,j}\min {\mathbf{x}}_{ij}=(2,3)$ 的值是使得 ${\mathbf{x}}_{ij}$ 最小的参数值，即 $i=2,j=3$。注意：这是返回了两个数据，在Java里面要专门处理，但Python可以直接支持。
• argmin 与函数配合最常见，如：令 $f(x)=x^2+x+1$，则 ${\arg }_{-1\le x\le 1}\min f(x)=-\frac{1}{2}$ 表示 $x$ 取 $-\frac{1}{2}$ 时函数取最小值 $\frac{3}{4}$，只是这个最小值没有人关心。

8.3 作业

• 解释推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标：$\min {\sum }_{(i,j)\in \Omega }(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)-r_{ij}{)}^2$
  • $i,j$：遍历数据集中的元素；
  • $\Omega$：表示所有$(i,j)$对的集合；
  • ${\mathbf{x}}_i$：第$i$个数据的输入；
  • ${\mathbf{t}}_j$：与${\mathbf{x}}_i$相关的第$j$个数据的标签；
  • $r_{ij}$：表示于$(i,j)$对应的真实值；
  • $f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)$：输出一个预测值；
  • $f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)-r_{ij}{)}^2$表示一个误差项；
  • 对集合$\Omega$中的所有$(i,j)$对进行遍历，并计算每一对的预测值与真实值之间的平方差，然后求和；
  • $\min$表示要对上述求和表达式求和并使之最小化；

九、累加、累乘与积分

  该章节展示了数学语言和计算机语言的高度统一；

9.1 累加

• 单重整数累加：
  $$\sum _{i=1}^{10}i\text{\hspace{1em}(1)}$$
  表示 $1+2+\cdots +10$，源码为：\sum_{i=1}^{10} i \tag{1}；
  用 Java 代码表示如下：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
    sum += i;

  数学表达式的下标习惯是从1开始，程序的下标相关从0开始，写程序是应该注意这个问题；

• 向量分量累加：
  $$\sum _{i=1}^n{x}_i\text{\hspace{1em}(2)}$$
  表示 $x_1+x_2+\cdots +x_n$，如果 $\mathbf{x}$ 的维度就是 $n$ 也可以简写为：${\sum }_i{x}_i$；
  用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    sum += x[i];

• 带条件的向量分量累加：
  $$\sum _{x_i>0}{x}_i\text{\hspace{1em}(3)}$$
  表示仅将向量 $\mathbf{x}$ 取值为正的分量相加；
  用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (x[i} > 0)
        sum += x[i];

• 练习：${\sum }_{x_i>0}{x}_i^2$
  用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (x[i} > 0)
        sum += x[i]*x[i};

• 存在歧义的累加：
  $$\sum _{x_i>0}\left(x_i^2+x_i+1\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$
  源码为：\sum_{x_{i} \gt 0} \left(x_{i}^2+x_{i}+1 \right) \tag{4}；
• 矩阵分量的二重累加：
  $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{x}_{ij}\text{\hspace{1em}(5)}$$
  表示下三角矩阵分量（左下部分）相加，源码为：\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} x_{ij} \tag{5}；
  用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        sum += x[i][j];

• 具有欺骗性的表示法：上式可以简写为 ${\sum }_{i\ge j}{x}_{ij}$，要明白这是二重累加；
• 练习：将矩阵中小于1的分量平方并累加，数学表达式和 Java 代码分别怎么写？
  数学表达式为：${\sum }_{x_{ij}<1}{x}_{ij}^2$
  用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j<=n; j++)
        if (x[ij} < 1)
            sum += x[i][j] * x[i][j];

9.2 累乘

• 整数累乘：
  $$\prod _{i=1}^{10}i\text{\hspace{1em}(6)}$$
  表示 $1\times 2\times \cdots \times 10$，源码为：\prod_{i=1}^{10} i \tag{6}，其中 prod 是 product 的简写；
  用 Java 代码表示如下：

int product = 1;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
    product *= i;

程序要注意溢出，但是数学表达式不存在这种担忧，同时注意 product 初始化为1；

• 向量分量累乘：
  $$\prod _{i=1}^n{x}_i\text{\hspace{1em}(7)}$$
  表示 $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n$，如果 $\mathbf{x}$ 的维度就是n，也可以简写为 ${\prod }_{i=1}{x}_i$；
  用 Java 代码表示如下：

double product = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    product *= x[i];

9.3 定积分

• 单变量函数的定积分，本质就是求曲线与 $x$ 轴之间的面积；
• 该面积带符号，所以正负面积可能会抵消一些；
  $${\int }_0^{10}{x}^2+x+1(d)x\text{\hspace{1em}(8)}$$
  源码为：\int_{0}^{10} x^{2} + x +1 \mathrm(d)x \tag{8}；
  注意 d 的写法，这里也可以换成 {\rm d}；
  用 Java 代码表示如下：

double integration = 0;
double delta = 0.01;
for (double x = 0; x <= 10; x += delta)
    integration += x * x * delta;

• 二重积分可以看作是求体积；
  $${\int }_0^{10}{\int }_{\frac{y}{2}}^{y}2x^{2}y+y^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(9)}$$
  源码为：\int_{0}^{10} \int_{\frac{y}{2}}^{y} 2 x^{2} y + y^{2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \tag{9}；

double integration = 0;
double deltax = 0.01;
double deltay = 0.01; 
for (double y = 0; y <= 10; y += deltay)
    for (double x = y/2; x <= y; x += deltay)
        integration += (2 * x * x * y + y * y) * deltax * deltay;

写代码不用考虑积分的简洁形式；

9.4 作业

1、将向量下标为偶数的分量 $\left(x_2,x_4,\dots \right)$ 累加，写出相应的表达式；

• 向量下标为偶数，那么累加条件应该为余数为0，即$i\mathrm{mod}2=0$，则表达式为：
  $$\sum _{i\mathrm{mod}2=0}{\mathbf{x}}_i$$
• 或者也可以对下标乘以2，这样可以保证下标是偶数。
• 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
   if (i % 2 ==0)
       sum += x[i];

2、各写出一道累加、累乘、积分表达式的习题，并给出标准答案；

（1） 累加表达式习题：求数列 { a n } \{a_{n}\} {an​}的前$n$项和，其中$a_n=2n-1$

• 标准答案：累加表达式为：$S_n={\sum }_{k=1}^n(2k-1)$
• 使用等差数列求和公式，得到：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+(2n-1))}{2}=n^2$

（2） 累乘表达式习题：求数列 { b n } \{b_{n}\} {bn​}的前$n$项积，其中$b_n=3^n$

• 标准答案：$P_n={\prod }_{k=1}^n{3}^k$
• 使用指数运算法则，得到：$P_n=3^1\times 3^2\times \cdots \times 3^n=3^{1+2+\cdots +n}=3^{\frac{n(n+1)}{2}}$
  （3） 积分表达式：求函数$f(x)=x^2$在区间$[0,1]$上的定积分
• 标准答案：积分表达式为${\int }_0^1{x}^{2}dx$
• 使用微积分基本定理，得到：${\int }_0^1{x}^{2}dx=[\frac{1}{3}{x}^3{]}_0^1=\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{1}{3}\times 0^3=\frac{1}{3}$

3、是否使用过三重累加？描述一下其应用；

• 三重累加（三重求和）是数学中用于计算三维空间或集合中元素的总和的一种运算。在编程和数学分析中，三重累加经常用于处理三维数组、网格或空间中的点集。

• 应用描述：

  • 三维数据处理：当处理三维数组或矩阵时，三重累加可用于计算数组中所有元素的总和。

  • 统计和数据分析：在统计学和数据分析中，当数据集具有三维结构（如时间序列、地理空间数据和多个特征的组合）时，三重累加可以用于计算总和、平均值或其他统计量。

  • 优化和机器学习：在优化问题和机器学习算法中，三重累加可能用于计算损失函数、正则化项或其他需要考虑三维数据结构的量。

4、给出一个常用的定积分，将手算结果与程序结果对比；

• 计算函数$f(x)=\sin (x)\cos (x)$在区间$[0,\frac{\pi }{2}]$上的定积分
• 原函数：$F(x)=\int \sin (x)\cos (x)dx=\int \frac{1}{2}\sin (2x)dx=-\frac{1}{4}\cos (2x)$
• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin (x)\cos (x)dx=F(\frac{\pi }{2})-F(0)=-\frac{1}{4}cos(\pi )-(-\frac{1}{4}cos(0))=\frac{1}{4}$
• 程序计算：使用Python计算

# 导入需要的库  
from scipy.integrate import quad
import numpy as np


def f(x):
    return np.sin(x) * np.cos(x)


# 计算定积分
result, error = quad(f, 0, np.pi / 2)


print(f"程序计算结果为：{result}")
print(f"估计误差为：{error}")