【收录 Hello 算法】2.3 时间复杂度

2.3 时间复杂度

2.3.1 统计时间增长趋势¶

2.3.2 函数渐近上界¶

2.3.3 推算方法¶

2.3 时间复杂度

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。

例如在以下代码中，输入数据大小为 𝑛 ：

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// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        cout << 0 << endl;         // 5 ns
    }
}

根据以上方法，可以得到算法的运行时间为 (6𝑛+12) ns ：

1+1+10+(1+5)×𝑛=6𝑛+12

但实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

2.3.1 统计时间增长趋势¶

时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 𝑛 ，给定三个算法 A、B 和 C ：

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// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}

图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。

算法 A 只有 1 个打印操作，算法运行时间不随着 𝑛 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
算法 B 中的打印操作需要循环 𝑛 次，算法运行时间随着 𝑛 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
算法 C 中的打印操作需要循环 1000000 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 𝑛 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为“常数阶”。

图 2-7 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势

相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在 𝑛>1 时比算法 A 更慢，在 𝑛>1000000 时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小 𝑛 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。
时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 𝑛 较小时，算法 B 明显优于算法 C 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

2.3.2 函数渐近上界¶

给定一个输入大小为 𝑛 的函数：

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void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        cout << 0 << endl;    // +1
    }
}

设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 𝑛 的函数，记为 𝑇(𝑛) ，则以上函数的操作数量为：

𝑇(𝑛)=3+2𝑛

𝑇(𝑛) 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为 𝑂(𝑛) ，这个数学符号称为大 𝑂 记号（big-𝑂 notation），表示函数 𝑇(𝑛) 的渐近上界（asymptotic upper bound）。

时间复杂度分析本质上是计算“操作数量 𝑇(𝑛)”的渐近上界，它具有明确的数学定义。

函数渐近上界

若存在正实数 𝑐 和实数 𝑛0 ，使得对于所有的 𝑛>𝑛0 ，均有 𝑇(𝑛)≤𝑐⋅𝑓(𝑛) ，则可认为 𝑓(𝑛) 给出了 𝑇(𝑛) 的一个渐近上界，记为 𝑇(𝑛)=𝑂(𝑓(𝑛)) 。

如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 𝑓(𝑛) ，使得当 𝑛 趋向于无穷大时，𝑇(𝑛) 和 𝑓(𝑛) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 𝑐 的倍数。

图 2-8 函数的渐近上界

2.3.3 推算方法¶

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。

根据定义，确定 𝑓(𝑛) 之后，我们便可得到时间复杂度 𝑂(𝑓(𝑛)) 。那么如何确定渐近上界 𝑓(𝑛) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

1. 第一步：统计操作数量¶

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 𝑐⋅𝑓(𝑛) 中的常数项 𝑐 可以取任意大小，因此操作数量 𝑇(𝑛) 中的各种系数、常数项都可以忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。

忽略 𝑇(𝑛) 中的常数项。因为它们都与 𝑛 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
省略所有系数。例如，循环 2𝑛 次、5𝑛+1 次等，都可以简化记为 𝑛 次，因为 𝑛 前面的系数对时间复杂度没有影响。
循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。

给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量：

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void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
}

以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推算出的时间复杂度都为 𝑂(𝑛2) 。

完整统计偷懒统计完整统计偷懒统计𝑇(𝑛)=2𝑛(𝑛+1)+(5𝑛+1)+2完整统计 (-.-|||)=2𝑛2+7𝑛+3𝑇(𝑛)=𝑛2+𝑛偷懒统计 (o.O)

2. 第二步：判断渐近上界¶

时间复杂度由 𝑇(𝑛) 中最高阶的项来决定。这是因为在 𝑛 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。

表 2-2 展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 𝑛 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

表 2-2 不同操作数量对应的时间复杂度

操作数量 𝑇(𝑛)	时间复杂度 𝑂(𝑓(𝑛))
100000	𝑂(1)
3𝑛+2	𝑂(𝑛)
2𝑛2+3𝑛+2	𝑂(𝑛2)
𝑛3+10000𝑛2	𝑂(𝑛3)
2𝑛+10000𝑛10000	𝑂(2𝑛)

2.3.4 常见类型¶

设输入数据大小为 𝑛 ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。

常数阶对数阶线性阶线性对数阶平方阶指数阶阶乘阶常数阶对数阶线性阶线性对数阶平方阶指数阶阶乘阶𝑂(1)<𝑂(log⁡𝑛)<𝑂(𝑛)<𝑂(𝑛log⁡𝑛)<𝑂(𝑛2)<𝑂(2𝑛)<𝑂(𝑛!)常数阶<对数阶<线性阶<线性对数阶<平方阶<指数阶<阶乘阶

图 2-9 常见的时间复杂度类型

1. 常数阶 𝑂(1)¶

常数阶的操作数量与输入数据大小 𝑛 无关，即不随着 𝑛 的变化而变化。

在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小 𝑛 无关，因此时间复杂度仍为 𝑂(1) ：

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time_complexity.cpp

/* 常数阶 */
int constant(int n) {
    int count = 0;
    int size = 100000;
    for (int i = 0; i < size; i++)
        count++;
    return count;
}

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2. 线性阶 𝑂(𝑛)¶

线性阶的操作数量相对于输入数据大小 𝑛 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：

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time_complexity.cpp

/* 线性阶 */
int linear(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        count++;
    return count;
}

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遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 𝑂(𝑛) ，其中 𝑛 为数组或链表的长度：

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time_complexity.cpp

/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成正比
    for (int num : nums) {
        count++;
    }
    return count;
}

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值得注意的是，输入数据大小 𝑛 需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量 𝑛 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 𝑛 为数据大小。

3. 平方阶 𝑂(𝑛2)¶

平方阶的操作数量相对于输入数据大小 𝑛 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为 𝑂(𝑛) ，因此总体的时间复杂度为 𝑂(𝑛2) ：

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time_complexity.cpp

/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数据大小 n 成平方关系
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

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图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。

图 2-10 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度

以冒泡排序为例，外层循环执行 𝑛−1 次，内层循环执行 𝑛−1、𝑛−2、…、2、1 次，平均为 𝑛/2 次，因此时间复杂度为 𝑂((𝑛−1)𝑛/2)=𝑂(𝑛2) ：

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time_complexity.cpp

/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(vector<int> &nums) {
    int count = 0; // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                int tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
                count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count;
}

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4. 指数阶 𝑂(2𝑛)¶

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 1 个细胞，分裂一轮后变为 2 个，分裂两轮后变为 4 个，以此类推，分裂 𝑛 轮后有 2𝑛 个细胞。

图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 𝑂(2𝑛) ：

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time_complexity.cpp

/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
    int count = 0, base = 1;
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < base; j++) {
            count++;
        }
        base *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

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图 2-11 指数阶的时间复杂度

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 𝑛 次分裂后停止：

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time_complexity.cpp

/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}

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指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。

5. 对数阶 𝑂(log⁡𝑛)¶

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 𝑛 ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 log2⁡𝑛 ，即 2𝑛 的反函数。

图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 𝑂(log2⁡𝑛) ，简记为 𝑂(log⁡𝑛) ：

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time_complexity.cpp

/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
    int count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

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图 2-12 对数阶的时间复杂度

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为 log2⁡𝑛 的递归树：

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time_complexity.cpp

/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
    if (n <= 1)
        return 0;
    return logRecur(n / 2) + 1;
}

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对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

𝑂(log⁡𝑛) 的底数是多少？

准确来说，“一分为 𝑚”对应的时间复杂度是 𝑂(log𝑚⁡𝑛) 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数、相等的时间复杂度：

𝑂(log𝑚⁡𝑛)=𝑂(log𝑘⁡𝑛/log𝑘⁡𝑚)=𝑂(log𝑘⁡𝑛)

也就是说，底数 𝑚 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 𝑚 ，将对数阶直接记为 𝑂(log⁡𝑛) 。

6. 线性对数阶 𝑂(𝑛log⁡𝑛)¶

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 𝑂(log⁡𝑛) 和 𝑂(𝑛) 。相关代码如下：

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time_complexity.cpp

/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

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图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 𝑛 ，树共有 log2⁡𝑛+1 层，因此时间复杂度为 𝑂(𝑛log⁡𝑛) 。

图 2-13 线性对数阶的时间复杂度

主流排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛log⁡𝑛) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

7. 阶乘阶 𝑂(𝑛!)¶

阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 𝑛 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

𝑛!=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1

阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出 𝑛 个，第二层分裂出 𝑛−1 个，以此类推，直至第 𝑛 层时停止分裂：

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time_complexity.cpp

/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
    if (n == 0)
        return 1;
    int count = 0;
    // 从 1 个分裂出 n 个
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
    }
    return count;
}

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图 2-14 阶乘阶的时间复杂度

请注意，因为当 𝑛≥4 时恒有 𝑛!>2𝑛 ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 𝑛 较大时也是不可接受的。

2.3.5 最差、最佳、平均时间复杂度¶

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为 𝑛 的数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 𝑛 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论。

当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是 1 时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度 𝑂(𝑛) 。
当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个元素为 1 时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度 Ω(1) 。

“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 𝑂 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 Ω 记号表示：

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worst_best_time_complexity.cpp

/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
vector<int> randomNumbers(int n) {
    vector<int> nums(n);
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
    }
    // 使用系统时间生成随机种子
    unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
    // 随机打乱数组元素
    shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
    return nums;
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(vector<int> &nums) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] == 1)
            return i;
    }
    return -1;
}

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值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 Θ 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 𝑛/2 ，平均时间复杂度为 Θ(𝑛/2)=Θ(𝑛) 。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

为什么很少看到 Θ 符号？

可能由于 𝑂 符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 𝑂(𝑛)”的表述，请将其直接理解为 Θ(𝑛) 。