贪心算法 Greedy Algorithm

1) 贪心例子

称之为贪心算法或贪婪算法，核心思想是

将寻找最优解的问题分为若干个步骤

每一步骤都采用贪心原则，选取当前最优解

因为没有考虑所有可能，局部最优的堆叠不一定让最终解最优

v2已经不会更新v3因为v3更新过了

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。这种算法通常用于求解优化问题，如最小生成树、背包问题等。

贪心算法的应用：

背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，尽可能多地装入物品。

活动选择问题：在一个活动集合中，每次只能参加一个活动，问如何安排时间以最大化所有活动的收益。

编辑距离问题：给定两个字符串，求它们之间的最小编辑距离(即将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数)。

网络流问题：给定一张有向图和一些起点和终点，求最大流量。

找零问题：给定一定数量的硬币和需要找零的金额，求使用最少的硬币数。

常见问题及解答：

贪心算法一定会找到最优解吗？答：不一定。贪心算法只保证在每一步选择中都是最优的，但并不能保证整个问题的最优解。例如，背包问题中的贪心算法可能会导致最后一个物品没有被装入背包。

如何判断一个问题是否适合用贪心算法解决？答：一个问题如果可以用递归的方式分解成若干个子问题，且每个子问题都有明确的最优解(即局部最优),那么这个问题就可以用贪心算法解决。

贪心算法的时间复杂度是多少？答：贪心算法的时间复杂度取决于问题的规模和具体实现。一般来说，对于规模较小的问题，贪心算法的时间复杂度可以达到O(nlogn)或O(n^2);对于规模较大的问题，可能需要O(n^3)或更高。

几个贪心的例子

Dijkstra

// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}

没找到最短路径的例子：负边存在时，可能得不到正确解

问题出在贪心的原则会认为本次已经找到了该顶点的最短路径，下次不会再处理它（curr.visited = true）

与之对比，Bellman-Ford 并没有考虑局部距离最小的顶点，而是每次都处理所有边，所以不会出错，当然效率不如 Dijkstra

Prim

// ...
while (!list.isEmpty()) {
    // 选取当前【距离最小】的顶点
    Vertex curr = chooseMinDistVertex(list);
    // 更新当前顶点邻居距离
    updateNeighboursDist(curr);
    // 移除当前顶点
    list.remove(curr);
    // 标记当前顶点已经处理过
    curr.visited = true;
}

Kruskal

// ...
while (list.size() < size - 1) {
    // 选取当前【距离最短】的边
    Edge poll = queue.poll();
    // 判断两个集合是否相交
    int i = set.find(poll.start);
    int j = set.find(poll.end);
    if (i != j) { // 未相交
        list.add(poll);
        set.union(i, j); // 相交
    }
}

其它贪心的例子

选择排序、堆排序

拓扑排序

并查集合中的 union by size 和 union by height

哈夫曼编码

钱币找零，英文搜索关键字

change-making problem

find Minimum number of Coins

任务编排

求复杂问题的近似解

2) 零钱兑换问题

有几个解（零钱兑换 II）Leetcode 518

[1,2,5] 5 暴力递归

有解：[1, 1, 1, 1, 1]
无解：[1, 1, 1, 1, 2]
无解：[1, 1, 1, 1, 5]
有解：[1, 1, 1, 2]
无解：[1, 1, 1, 5]
无解：[1, 1, 2, 2]
无解：[1, 1, 2, 5]
无解：[1, 1, 5]
有解：[1, 2, 2]
无解：[1, 2, 5]
无解：[1, 5]
无解：[2, 2, 2]
无解：[2, 2, 5]
无解：[2, 5]
有解：[5]
4

public int rec(int index,int[] coins,int remainder){
        //1.情况1:剩余金额 < 0 - 无解
        //2.情况2:剩余金额 > 0 - 继续递归
        //3.情况3:剩余金额 = 0 - 有解
        if(remainder < 0){
            return 0;
        }
        else if(remainder == 0){
            return 1;
        }
        else{
            int count = 0;
            for(int i = index;i<coins.length;i++){
                count+=rec(i,coins,remainder-coins[i]);
            }
            return count;
        }
    }

那这个递归是怎么运作的呢?

/*
//第一次传入 index= 0=>1 处理硬币和剩余金额
    rec(1,5)    remainder > 0 所以走else逻辑 再循环中的递归是多路递归
        rec(1,4)
            rec(1,3)
                rec(1,2)
                    rec(1,1)
                        rec(1,0) <==  1
                        rec(2,-1) <== 0
                        rec(5,-4) <== 0
                    rec(2,0)   <==1
                    rec(5,-3) <== 0
                rec(2,1)
                    rec(2,-1) <== 0
                    rec(5,-4) <== 0
                rec(5,-2)  <== 0
            rec(2,2)
                rec(2,0)  <== 1
                rec(5,-3) <== 0
            rec(5,-1) <== 0
        rec(2,5-2=3)
            rec(2,1)
                rec(2,-1)  <== 0
                rec(5,-4)  <== 0
            rec(5,-2)  <==0
        rec(5,5-5=0) < ==1


 */

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.ListIterator;

/**
 * 零钱兑换
 * 可以凑成总金额所需的所有组合可能数
 */
public class Leetcode518 {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        return rec(0, coins, amount, new LinkedList<>(), true);
    }

    /**
     * 求凑成剩余金额的解的个数
     *
     * @param index     当前硬币索引
     * @param coins     硬币面值数组
     * @param remainder 剩余金额
     * @param stack     -
     * @param first     -
     * @return 解的个数
     */
    public int rec(int index, int[] coins, int remainder, LinkedList<Integer> stack, boolean first) {
        if(!first) {//第一次不压栈
            stack.push(coins[index]);
        }
        // 情况1：剩余金额 < 0 - 无解
        int count = 0;
        if (remainder < 0) {
            print("无解：", stack);
//            if(!stack.isEmpty()){
//                stack.pop();
//            }
        }
        // 情况2：剩余金额 == 0 - 有解
        else if (remainder == 0) {
            print("有解：", stack);
//            if(!stack.isEmpty()){
//                stack.pop();
//            }
            count = 1;
        }
        // 情况3：剩余金额 > 0 - 继续递归
        else {
            for (int i = index; i < coins.length; i++) {
                count += rec(i, coins, remainder - coins[i], stack, false);
            }
        }
        if (!stack.isEmpty()) {
            stack.pop();
        }
        return count;
    }

    private static void print(String prompt, LinkedList<Integer> stack) {
        ArrayList<Integer> print = new ArrayList<>();
        ListIterator<Integer> iterator = stack.listIterator(stack.size());
        while (iterator.hasPrevious()) {
            print.add(iterator.previous());
        }
        System.out.println(prompt + print);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode518 leetcode = new Leetcode518();
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{1, 5, 10, 25}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
        int count = leetcode.coinChange(new int[]{1, 2, 5}, 5);
//        int count = leetcode.change(new int[]{15, 10, 1}, 21);
        System.out.println(count);
    }
}

但是这个代码放在leetcode上面跑会超时,因为重复处理了很多次相同的操作

我们可以考虑用记忆法 & 动态规划来优化

我们也可以考虑顺序优化 ==>规模下降明显

/*
[5,2,1]   5
rec(5,5)
    rec(5,0) <== 1
    rec(2,3) 
        rec(2,1)
            rec(2,-1) <==0
            rec(1,0)  <==1
        rec(1,1)
            rec(1,0) <==1
    rec(1,4)
        rec(1,3)
            rec(1,2)
                rec(1,1)
                    rec(1,0) <==1
 */

但即使是这样写在leetcode上也是会 StackOverflowError

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins1) {
        int[] coins = sort(coins1);
        return rec(0,coins,amount);

    }
    int rec(int index,int[] coins,int remainder){
        int count = 0;
        if(remainder == 0){
            return 1;
        }else if(remainder<0){
            return 0;
        }else{
            for(int i = index;i<coins.length;i++){
                count+=rec(index,coins,remainder);
            }
            return count;
        }
    }
    /**
    *传入一个有序的数组a(从小到大排序),返回一个从大到小的数组
    *@param a 传入的数组(有序)
    *@return 返回一个数组(从大到小)
     */
    
    int[] sort(int[] a){
        int[] temp = a;
        if(temp.length % 2 ==0){
            //数组里面的个数为偶数
            for(int i = 0;i<=temp.length/2;i++){
                int temp1 = a[i];
                temp[i] = temp[temp.length-1-i];
                temp[temp.length-1] = temp1;
            }
        }else{
            //数组里面的个数为奇数
            for(int i = 0;i<temp.length/2;i++){
                int temp1 = a[i];
                temp[i]=temp[temp.length-1-i];
                temp[temp.length-1-i] = temp1;
            }
        }
        return temp;
    }
}

import java.util.Arrays;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = sort(new int[]{1,2,3});
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        //为什么我这么选择是因为用Arrays.sort要将数组转化为Integer[]
    }
    /**
     *传入一个有序的数组a（从小到大排序），返回一个从大到小的数组
     * @param a 传入的数组（有序）
     * @return 返回一个数组（从大到小）
     */
    public static int[] sort(int[] a){
        int[] temp = a;

        if(temp.length%2==0){
            //数组里面的个数为偶数
            for (int i = 0; i <= temp.length/ 2; i++) {
                int temp1 = a[i];
                temp[i]=temp[temp.length-1-i];
                temp[temp.length - 1-i] = temp1;
            }
        }else{
            //数组里面的个数为奇数
            for (int i = 0; i < temp.length / 2; i++) {
                int temp1 = a[i];
                temp[i]=temp[temp.length-1-i];
                temp[temp.length - 1-i] = temp1;
            }
        }
        return  temp;
    }
}

动态规划->会在动态规划章节说明

最优解（零钱兑换）- 穷举法 Leetcode 322

import java.util.LinkedList;
import java.util.concurrent.atomic.AtomicInteger;

public class Leetcode322 {
    static int min = -1; // 需要的最少硬币数  2 3

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        rec(0, coins, amount, new AtomicInteger(-1), new LinkedList<>(), true);
        return min;
    }

    // count 代表某一组合 钱币的总数 可变的整数对象
    public void rec(int index, int[] coins, int remainder, AtomicInteger count, LinkedList<Integer> stack, boolean first) {
        if (!first) {
            stack.push(coins[index]);
        }
        count.incrementAndGet(); // count++
        if (remainder == 0) {
            System.out.println(stack);
            if (min == -1) {
                min = count.get();
            } else {
                min = Integer.min(min, count.get());
            }
        } else if (remainder > 0) {
            for (int i = index; i < coins.length; i++) {
                rec(i, coins, remainder - coins[i], count, stack, false);
            }
        }
        count.decrementAndGet(); // count--
        if (!stack.isEmpty()) {
            stack.pop();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode322 leetcode = new Leetcode322();
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{2}, 3);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10, 1}, 21);
        System.out.println(count);
    }
}

最优解（零钱兑换）- 贪心法 Leetcode 322

自己看看就行因为有些测试样例过不了

假定传过来的数据就是从大到小排序,因为java对int数组从大到小排序比较麻烦

public class Leetcode322 {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int remainder = amount;
        int count = 0;
        for (int coin : coins) {
            while (remainder - coin > 0) {
                remainder -= coin;
                count++;
            }
            if (remainder - coin == 0) {
                remainder = 0;
                count++;
                break;
            }
        }
        if (remainder > 0) {
            return -1;
        } else {
            return count;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Leetcode322 leetcode = new Leetcode322();
        int count = leetcode.coinChange(new int[]{5, 2, 1}, 5);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{25, 10, 5, 1}, 41);
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{2}, 3);
        
        // 问题1 没有回头，导致找到更差的解
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10, 1}, 21);  
        // 问题2 没有回头，导致无解
//        int count = leetcode.coinChange(new int[]{15, 10}, 20);  
        System.out.println(count);
    }
}