例3：设S是一个集合A的所有变换作成的集合，定义r：a→a1=r(a)，证明：我们可以用r1r2：a→r1[r2(a)]=r1r2(a)来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对于这个乘法来说，ɛ(恒等变换)还是S的单位元。
证：①设任意的r1,r2∈S，任意的a∈A，则r1(a),r1[r2(a)]都是A中唯一确定的元，那么题中定义的r1r2是S中唯一确定的元，且是一个S的乘法；
②设任意的r3∈S，则有：
[(r1r2)r3](a) = r1r2[r3(a)] = r1{r2[r3(a)]}，[r1(r2r3)](a) = r1[r2r3(a)] = r1{r2[r3(a)]}，
所以(r1r2)r3 = r1(r2r3)，即规定的乘法适合结合律；
③设r是S中的任意元，对于任意a∈A，都有ɛ(a) = a，因此有：
ɛr(a) = ɛ[r(a)] = r(a)，rɛ(a) = r[ɛ(a)] = r(a)，即ɛr = rɛ = r，所以ɛ还是S的单位元。
例4：证明：一个变换群的单位元是恒等变换。
证：设G为A上的一个变换群(A上的一一变换组成的集合)，e是G的单位元，
因此对任意的f∈G，有e o f = f，
对任意的y∈A，因为f为A上的一一变换，所以存在x∈A，使得f(x) = y，
所以e(y) = e[f(x)] = (e o f)(x) = f(x) = y = ɛ(y)，
即有e(y) = ɛ(y)，即e = ɛ。
例5：定义在实数域上的n阶可逆矩阵的全体Mn关于矩阵的乘法作成群。【这个群称为n阶一般线性群，记为Gln(R)】
证：因为单位矩阵E可逆，因此Mn≠∅；
①设A,B∈Mn，则A,B可逆，且(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，所以AB也可逆，即AB∈Mn，因此满足了群公理第一条的封闭性；
②矩阵的乘法适合结合律，因此也满足了群公理的第二条；
③对任意的A∈Mn，有EA = A，因此单位矩阵E即是Mn中的单位元，所以也满足了群公理的第四条；
④对任意的A∈Mn，因为A可逆，设其逆矩阵为A^(-1)，则有AA^(-1) = E，因此A^(-1)也可逆，即A^(-1)∈Mn，所以对于Mn中任意的可逆矩阵A，A在Mn中都存在相应的逆矩阵（或者叫“逆元”），所以也满足了群公理的第五条。
综上所述，根据群的第二定义（或者说“第二判定定理”），我们可知Mn关于矩阵的乘法作成群。
置换群
定义1：有限集上的一一变换叫做“置换”，同一集合上的若干置换构成的群称为“置换群”。
【“置换群”和“变换群”的区别：“置换群”要求是“有限集”上的一一变换组成的群，而变换群则没有“有限集”这个限制条件，因此“置换群”是“变换群”的一种特殊形式。】
包含n个元素的集合上的全体置换作成的群称为“n次对称群”，记为Sn。
定理1（有限群的凯莱定理）：任何一个有限群都同构于一个置换群。
通常，将Sn中的元素记为：
它表示某个置换σ，在这个置换下，1变成r1，2变成r2，……
比如：
在置换σ1下，1变成3，3变成6，6变成2，2变成1，4,5保持不变，
这样的置换也可以简写成(1362)(前一个数字在置换下变成后一个数字，4,5保持不变所以可以省略)，这样的置换可称为“4-循环”。
(r1r2......rk)称为一个“k-循环”（统称“循环置换”），其中“2-循环”也叫“对换”。
置换的计算：
解析：
①按从左往右乘，即先计算左边的矩阵，
左边的矩阵中1变成2，而在右边的矩阵中，2变回了1，因此两个矩阵相乘后的结果就是1变成1，即1保持不变；
左边的矩阵中2变成3，而在右边的矩阵中，3保持不变，因此两个矩阵相乘后的结果就是2变成3；
左边的矩阵中3变成1，而在右边的矩阵中，1变成了4，因此两个矩阵相乘后的结果就是3变成4；
左边的矩阵中4保持不变，而在右边的矩阵中，4变成了2，因此两个矩阵相乘后的结果就是4变成2；
综上，按从左往右乘的计算结果为：1保持不变，2变成3，3变成4，4变成2，可简写为(234)。
②按从右往左乘，即先计算右边的矩阵，
右边的矩阵中1变成4，而在左边的矩阵中，4保持不变，因此两个矩阵相乘后的结果就是1变成4；
右边的矩阵中2变成1，而在左边的矩阵中，1变回了2，因此两个矩阵相乘后的结果就是2保持不变；
右边的矩阵中3保持不变，而在左边的矩阵中，3变成了1，因此两个矩阵相乘后的结果就是3变成1；
右边的矩阵中4变成了2，而在左边的矩阵中，2变成了3，因此两个矩阵相乘后的结果就是4变成3；
综上，按从右往左乘的计算结果为：2保持不变，1变成4，4变成3，3变成1，可简写为(143)。
（待续……）
