【动态规划】Leetcode 416. 分割等和子集【中等】

分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

解题思路

这是一个典型的动态规划问题，可以使用动态规划来解决

• 1、计算数组 nums 的总和 sum。
• 2、如果 sum 为奇数，那么无法将数组分割成两个和相等的子集，直接返回 false。
• 3、将问题转化为背包问题：尝试从数组中挑选一些数字，使得它们的和等于 sum 的一半。 如果能够找到这样的数字组合，就说明可以将数组分割成两个和相等的子集。
• 4、定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个数字中是否存在和为 j 的子集。
• 5、初始化 dp 数组，当不选取任何数字时，可以得到和为 0 的子集，因此 dp[i][0] = true（0 <= i <= nums.length）；当没有数字可选时，除了和为 0 的子集，其他和均不可能存在，因此 dp[0][j] = false（1 <= j <= sum/2）。
• 6、遍历数组 nums，在每个位置考虑选取或不选取当前数字，更新 dp 数组。
• 7、返回 dp[nums.length][sum/2]，表示是否存在和为 sum/2 的子集。

Java实现

public class PartitionEqualSubsetSum {

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if (sum % 2 != 0) {
            return false;
        }
        int target = sum / 2;
        boolean[][] dp = new boolean[nums.length + 1][target + 1];
        for (int i = 0; i <= nums.length; i++) {
            dp[i][0] = true;
        }
        /**
         * 这段代码是典型的动态规划解法，用于解决一个背包问题。在这里，dp[i][j]
         * 表示使用数组 nums 的前 i 个数字能否组成和为 j 的情况。
         *
         * 具体来说，内层的两个循环分别是：
         * 外层循环遍历数组 nums 的每个数字（从 1 到 nums.length）。
         * 内层循环遍历目标和 target 的可能取值（从 1 到 target）。
         *
         * 在每一次迭代中，我们需要考虑两种情况：
         * 1、如果当前数字 nums[i - 1] 大于当前目标和 j，则无法使用当前数字来达到目标和 j，
         * 因此 dp[i][j] 应该等于 dp[i - 1][j]，即不使用当前数字 nums[i - 1]；
         *
         * 2、如果当前数字 nums[i - 1] 小于等于当前目标和 j，则存在两种选择：
         * 不使用当前数字 nums[i - 1]，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j]；
         * 使用当前数字 nums[i - 1]，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i - 1]]。
         *  如果选择使用当前数字，则需要查看前一个状态 dp[i - 1][j - nums[i - 1]] 是否为 true，
         *  即在不考虑当前数字时，前一个状态能否达到目标和为 j - nums[i - 1] 的情况。
         *  如果为 true，则说明使用当前数字后，目标和为 j 的情况可以通过选择当前数字来实现。
         *
         * 因此，最终 dp[i][j] 的值是以上两种情况的逻辑或（||）结果。这样，
         * 在外层循环和内层循环的遍历结束后，dp[nums.length][target]
         * 就表示使用数组 nums 中的所有数字能否组成目标和为 target 的情况。
         */
        for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                if (nums[i - 1] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                }
            }
        }
        return dp[nums.length][target];
    }

    public static void main(String[] args) {
        PartitionEqualSubsetSum partitionEqualSubsetSum = new PartitionEqualSubsetSum();

        // Test case 1
        int[] nums1 = {1, 5, 11, 5};
        System.out.println(partitionEqualSubsetSum.canPartition(nums1)); // Output: true

        // Test case 2
        int[] nums2 = {1, 2, 3, 5};
        System.out.println(partitionEqualSubsetSum.canPartition(nums2)); // Output: false
    }
}

时间空间复杂度

• 时间复杂度：遍历了一次数组nums，并使用了一个二维数组dp，时间复杂度为O(n * sum)，其中n为数组nums的长度，sum为数组nums的总和。

• 空间复杂度：使用了一个二维数组dp，空间复杂度为O(n * sum)。