面试算法准备：动态规划

1 理论

动态规划问题的一般形式就是求最值
求解动态规划的核心问题是穷举
首先，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，需要你熟练掌握递归思维，只有列出正确的「状态转移方程」，才能正确地穷举。而且，你需要判断算法问题是否具备「最优子结构」，是否能够通过子问题的最值得到原问题的最值。另外，动态规划问题存在**「重叠子问题」**，如果暴力穷举的话效率会很低，所以需要你使用「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
以上提到的重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素
那么按照上面的理解，模板就是这样的：

# 自顶向下递归的动态规划
def dp(状态1, 状态2, ...):
    for 选择 in 所有可能的选择:
        # 此时的状态已经因为做了选择而改变
        result = 求最值(result, dp(状态1, 状态2, ...))
    return result

# 自底向上迭代的动态规划
# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)

2 例题

2.1 斐波那契数列（什么是重叠子问题）

正常递归解法如下：

int fib(int N) {
    if (N == 1 || N == 2) return 1;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}

观察递归树，很明显发现了算法低效的原因：存在大量重复计算，比如 f(18) 被计算了两次，而且你可以看到，以 f(18) 为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，会耗费巨大的时间。更何况，还不止 f(18) 这一个节点被重复计算，所以这个算法及其低效。

这就是动态规划问题的第一个性质：重叠子问题。下面，我们想办法解决这个问题。

2.1.1 带备忘录的递归解法

明确了问题，其实就已经把问题解决了一半。即然耗时的原因是重复计算，那么我们可以造一个「备忘录」，每次算出某个子问题的答案后别急着返回，先记到「备忘录」里再返回；每次遇到一个子问题先去「备忘录」里查一查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。
一般使用一个数组充当这个「备忘录」，当然你也可以使用哈希表（字典），思想都是一样的。

int fib(int N) {
    // 备忘录全初始化为 0
    int[] memo = new int[N + 1];
    // 进行带备忘录的递归
    return dp(memo, N);
}

// 带着备忘录进行递归
int dp(int[] memo, int n) {
    // base case
    if (n == 0 || n == 1) return n;
    // 已经计算过，不用再计算了
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    memo[n] = dp(memo, n - 1) + dp(memo, n - 2);
    return memo[n];
}

画出递归树，你就知道「备忘录」到底做了什么

实际上，带「备忘录」的递归算法，把一棵存在巨量冗余的递归树通过「剪枝」
啥叫「自顶向下」？注意我们刚才画的递归树（或者说图），是从上向下延伸，都是从一个规模较大的原问题比如说 f(20)，向下逐渐分解规模，直到 f(1) 和 f(2) 这两个 base case，然后逐层返回答案，这就叫「自顶向下」。
啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下、最简单、问题规模最小、已知结果的 f(1) 和 f(2)（base case）开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)。这就是「递推」的思路，这也是动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算的原因。
自底向上代码如下：

int fib(int N) {
    if (N == 0) return 0;
    int[] dp = new int[N + 1];
    // base case
    dp[0] = 0; dp[1] = 1;
    // 状态转移
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[N];
}

这里，引出「状态转移方程」这个名词，实际上就是描述问题结构的数学形式：

2.2 零钱兑换（讲解最优子结构）

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

思路以及代码：
首先，这个问题是动态规划问题，因为它具有「最优子结构」的。要符合「最优子结构」，子问题间必须互相独立。啥叫相互独立？你肯定不想看数学证明，我用一个直观的例子来讲解。
比如说，假设你考试，每门科目的成绩都是互相独立的。你的原问题是考出最高的总成绩，那么你的子问题就是要把语文考到最高，数学考到最高…… 为了每门课考到最高，你要把每门课相应的选择题分数拿到最高，填空题分数拿到最高…… 当然，最终就是你每门课都是满分，这就是最高的总成绩。
得到了正确的结果：最高的总成绩就是总分。因为这个过程符合最优子结构，「每门科目考到最高」这些子问题是互相独立，互不干扰的。

但是，如果加一个条件：你的语文成绩和数学成绩会互相制约，不能同时达到满分，数学分数高，语文分数就会降低，反之亦然。
这样的话，显然你能考到的最高总成绩就达不到总分了，按刚才那个思路就会得到错误的结果。因为「每门科目考到最高」的子问题并不独立，语文数学成绩户互相影响，无法同时最优，所以最优子结构被破坏。

**回到凑零钱问题，为什么说它符合最优子结构呢？**假设你有面值为 1, 2, 5 的硬币，你想求 amount = 11 时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出 amount = 10, 9, 6 的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 1, 2, 5 的硬币），求个最小值，就是原问题的答案。因为硬币的数量是没有限制的，所以子问题之间没有相互制，是互相独立的

那么，既然知道了这是个动态规划问题，就要思考如何列出正确的状态转移方程？

1、确定 base case，这个很简单，显然目标金额 amount 为 0 时算法返回 0，因为不需要任何硬币就已经凑出目标金额了。

2、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。

3、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。目标金额为什么变化呢，因为你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」。

4、明确 dp 函数/数组的定义。我们这里讲的是自顶向下的解法，所以会有一个递归的 dp 函数，一般来说函数的参数就是状态转移中会变化的量，也就是上面说到的「状态」；函数的返回值就是题目要求我们计算的量。就本题来说，状态只有一个，即「目标金额」，题目要求我们计算凑出目标金额所需的最少硬币数量。

所以我们可以这样定义 dp 函数：dp(n) 表示，输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 所需的最少硬币数量。

根据上述思路，就可以写出伪代码：

// 伪码框架
int coinChange(int[] coins, int amount) {
    // 题目要求的最终结果是 dp(amount)
    return dp(coins, amount)
}

// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int n) {
    // 做选择，选择需要硬币最少的那个结果
    for (int coin : coins) {
        res = min(res, 1 + dp(coins, n - coin))
    }
    return res
}

该问题的状态转移方程为：

代码1 备忘录dp 自顶向下：

class Solution {
    int[] memo;
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        memo = new int[amount+1];
        Arrays.fill(memo, -666);
        return dp(coins,amount);
    }

    int dp(int[] coins,int n){
        if(n == 0){
            return 0;
        }
        if(n < 0){
            return -1;
        }
        if(memo[n] != -666){
            return memo[n];
        }
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for(int coin:coins){
            int subProblem = dp(coins,n-coin);
            if(subProblem == -1){
                continue;
            }
            res = Math.min(res,subProblem+1);
        }
        memo[n] = (res == Integer.MAX_VALUE) ? -1 : res;
        return memo[n];
    }
}

代码2 dp 数组的迭代解法 自底向上：
dp 数组的定义：当目标金额为 i 时，至少需要 dp[i] 枚硬币凑出。
代码：

int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] dp = new int[amount + 1];
    // 数组大小为 amount + 1，初始值也为 amount + 1
    Arrays.fill(dp, amount + 1);

    // base case
    dp[0] = 0;
    // 外层 for 循环在遍历所有状态的所有取值
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        // 内层 for 循环在求所有选择的最小值
        for (int coin : coins) {
            // 子问题无解，跳过
            if (i - coin < 0) {
                continue;
            }
            dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);/**<extend up><div class="img-content"><img src="/algo/images/动态规划详解进阶/6.jpg" class="myimage"/></div> */
        }
    }
    return (dp[amount] == amount + 1) ? -1 : dp[amount];
}

2.3 最长递增子序列（讲解如何求解状态转移方程）

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的
子序列

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

思路以及代码：
得出状态转移方程的过程类似于高中的数学归纳法，比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在 k < n 时成立，然后根据这个假设，想办法推导证明出 k = n 的时候此结论也成立。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。
类似的，我们设计动态规划算法，不是需要一个 dp 数组吗？我们可以假设 dp[0…i-1] 都已经被算出来了，然后问自己：怎么通过这些结果算出 dp[i]？

根据这个定义，我们就可以推出 base case：dp[i] 初始值为 1（表示到i为止，递增最长子序列长度至少为1），因为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列起码要包含它自己。

这个 GIF 展示了算法演进的过程：

根据这个定义，我们的最终结果（子序列的最大长度）应该是 dp 数组中的最大值。
那么，算法演进过程中每个 dp[i] 的结果是我们肉眼看出来的，我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个 dp[i] 呢？
这里需要使用数学归纳的思想：
假设我们已经知道了 dp[0…4] 的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出 dp[5] 呢？

nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到这些子序列末尾，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。

nums[5] 前面有哪些元素小于 nums[5]？这个好算，用 for 循环比较一波就能把这些元素找出来。

以这些元素为结尾的最长递增子序列的长度是多少？回顾一下我们对 dp 数组的定义，它记录的正是以每个元素为末尾的最长递增子序列的长度。

以我们举的例子来说，nums[0] 和 nums[4] 都是小于 nums[5] 的，然后对比 dp[0] 和 dp[4] 的值，我们让 nums[5] 和更长的递增子序列结合，得出 dp[5] = 3：

结合我们刚才说的 base case，下面我们看一下完整代码：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length+1];
        //dp初始值为1
        Arrays.fill(dp,1);
        //计算dp
        for(int i = 1;i<nums.length;i++){
            for(int j = 0;j<i;j++){
                if(nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        //计算最大值
        int res = 0;
        for(int i = 0;i<nums.length;i++){
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

总结一下如何找到动态规划的状态转移关系：

1、明确 dp 数组的定义。这一步对于任何动态规划问题都很重要，如果不得当或者不够清晰，会阻碍之后的步骤。

2、根据 dp 数组的定义，运用数学归纳法的思想，假设 dp[0…i-1] 都已知，想办法求出 dp[i]，一旦这一步完成，整个题目基本就解决了。

2.4 俄罗斯套娃信封问题（二维dp）

给你一个二维整数数组 envelopes ，其中 envelopes[i] = [wi, hi] ，表示第 i 个信封的宽度和高度。
当另一个信封的宽度和高度都比这个信封大的时候，这个信封就可以放进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。
请计算 最多能有多少个 信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封（即可以把一个信封放到另一个信封里面）。
注意：不允许旋转信封。

示例 1：
输入：envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
输出：3
解释：最多信封的个数为 3, 组合为: [2,3] => [5,4] => [6,7]。
示例 2：
输入：envelopes = [[1,1],[1,1],[1,1]]
输出：1

思路以及代码：
这道题目其实是最长递增子序列的一个变种，因为每次合法的嵌套是大的套小的，相当于在二维平面中找一个最长递增的子序列，其长度就是最多能嵌套的信封个数。

这道题的解法比较巧妙：
先对宽度 w 进行升序排序，如果遇到 w 相同的情况，则按照高度 h 降序排序；之后把所有的 h 作为一个数组，在这个数组上计算 LIS 的长度就是答案。

后在 h 上寻找最长递增子序列，这个子序列就是最优的嵌套方案：

那么为什么这样就可以找到可以互相嵌套的信封序列呢？稍微思考一下就明白了：

首先，对宽度 w 从小到大排序，确保了 w 这个维度可以互相嵌套，所以我们只需要专注高度 h 这个维度能够互相嵌套即可。
其次，两个 w 相同的信封不能相互包含，所以对于宽度 w 相同的信封，对高度 h 进行降序排序，保证二维 LIS 中不存在多个 w 相同的信封（因为题目说了长宽相同也无法嵌套）。

代码如下：

class Solution {
    public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {
        int n = envelopes.length;
        //第一维进行升序，如果第一维度的值相同，就按照第二维进行降序
        Arrays.sort(envelopes,(int[] a,int [] b)->{
            return a[0]==b[0]?b[1]-a[1]:a[0]-b[0];
        });
        //对高度的数组求一个最长递增子序列
        int[] height = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            height[i] = envelopes[i][1];

        return lengthOfLIS(height);
    }

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length+1];
        //dp初始值为1
        Arrays.fill(dp,1);
        //计算dp
        for(int i = 1;i<nums.length;i++){
            for(int j = 0;j<i;j++){
                if(nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        //计算最大值
        int res = 0;
        for(int i = 0;i<nums.length;i++){
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}