这里写目录标题
1 回溯
1.1 思路及模板
抽象地说，解决一个回溯问题，实际上就是遍历一棵决策树的过程，树的每个叶子节点存放着一个合法答案。你把整棵树遍历一遍，把叶子节点上的答案都收集起来，就能得到所有的合法答案。‘
站在回溯树的一个节点上，你只需要思考 3 个问题：
1、路径：也就是已经做出的选择。
2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。
3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。
回溯算法的框架如下：
result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择
更具体的，在下面的例子中，对于遍历到红色节点来说，现在可以解答开头的几个名词：[2] 就是「路径」，记录你已经做过的选择；[1,3] 就是「选择列表」，表示你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层叶子节点，这里也就是选择列表为空的时候。
如果明白了这几个名词，可以把「路径」和「选择」列表作为决策树上每个节点的属性，比如下图列出了几个蓝色节点的属性：
函数在树上游走要正确处理节点的属性，那么就要在这两个特殊时间点搞点动作：
再来理解下回溯框架：
for 选择 in 选择列表:
# 做选择
将该选择从选择列表移除
路径.add(选择)
backtrack(路径, 选择列表)
# 撤销选择
路径.remove(选择)
将该选择再加入选择列表
1.1 plus 排列组合子集问题
无论是排列、组合还是子集问题，简单说无非就是让你从序列 nums 中以给定规则取若干元素
1.2 例题
1.2.1 全排列
给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1]
输出：[[1]]
思路以及代码
1、路径：走过的记录在track中。
2、选择列表：used[] 为false表示没走过，可以选择。
3、结束条件：track.size == nums.length 表示到达了叶子节点，可以退出。
class Solution {
//存放结果
List<List<Integer>> res = new LinkedList();
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<Integer> track = new LinkedList();
boolean[] used = new boolean[nums.length];
backtrack(nums,track,used);
return res;
}
// 路径：记录在 track 中
// 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素（used[i] 为 false）
// 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现
public void backtrack(int[] nums,List<Integer> track,boolean[] used){
//当该条路径的track和nums元素相同，也就是已经走到了叶子节点，退出
if(track.size() == nums.length){
res.add(new LinkedList(track));
return ;
}
for(int i = 0;i<nums.length;i++){
//排除不合法
if(used[i]){
continue;
}
//做选择
track.add(nums[i]);
used[i] = true;
//进入下一层决策树
backtrack(nums,track,used);
//退出
track.removeLast();
used[i] = false;
}
}
}
1.2.2 N 皇后
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
示例：
输入：n = 4
输出：[[“.Q…”,“…Q”,“Q…”,“…Q.”],[“…Q.”,“Q…”,“…Q”,“.Q…”]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
思路以及代码：
这个问题本质上跟全排列问题差不多，决策树的每一层表示棋盘上的每一行；每个节点可以做出的选择是，在该行的任意一列放置一个皇后。
路径：board中小于row的行都已经放置了Q
选择列表：board中第row行的所有列都可以选择
结束条件：当超过了最后一行，也就是row = board.size()
class Solution {
public:
//存放结果
vector<vector<string>> res;
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
// vector<string> 代表一个棋盘
// '.' 表示空，'Q' 表示皇后，初始化空棋盘
vector<string> board(n, string(n, '.'));
backtrack(board, 0);
return res;
}
//路径：board中小于row的行都已经放置了Q
//选择列表：board中第row行的所有列都可以选择
//结束条件：当超过了最后一行，也就是row = board.size()
void backtrack(vector<string>& board,int row){
if(board.size() == row){
res.push_back(board);
return;
}
int n = board[row].size();
for(int col = 0;col<n;col++){
// 排除不合法选择
if (!isValid(board, row, col)) {
continue;
}
// 做选择
board[row][col] = 'Q';
// 进入下一行决策
backtrack(board, row + 1);
// 撤销选择
board[row][col] = '.';
}
}
//输入棋盘board，判断第row行的第col列是否可以放Q？
bool isValid(vector<string> board,int row,int col){
int n = board.size();
//检查同一列是否有冲突
for(int i = 0;i<=row;i++){
if(board[i][col] == 'Q'){
return false;
}
}
//检查右上
for(int i = row - 1,j = col + 1;i >= 0 && j < n;i--,j++){
if(board[i][j] == 'Q'){
return false;
}
}
//检查左上
for(int i = row - 1,j = col - 1;i>=0 && j>=0;i--,j--){
if(board[i][j] == 'Q'){
return false;
}
}
return true;
}
};
1.2.3 N皇后问题 II
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n × n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回 n 皇后问题 不同的解决方案的数量。
输入：n = 4
输出：2
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
思路以及代码：
这道题和N皇后几乎一样，只需要将N皇后的退出返回数组改为退出res++即可，如下所示：
if(board.size() == row){
res++;
return;
}
1.2.4 子集 （子集/排列问题）
给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2：
输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]
思路以及代码：
这其实是一个小学问题，nums = [1,2,3]，那么怎么获取它的子集？
首先考虑空集[]，接着在空集的基础上衍生出一个元素的子集：
再接着，再[1],[2]上衍生出两个元素的子集：
最后只有[1,2]可以继续衍生出三个元素的子集：
如果把根节点作为第 0 层，将每个节点和根节点之间树枝上的元素作为该节点的值，那么第 n 层的所有节点就是大小为 n 的所有子集。
这里让我们求所有的节点，可以理解为求解组合树的所有节点
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
backtrack(nums,0);
return res;
}
//路径 由track记录
//路径列表 比当前节点val大的值
//结束条件 start == nums.length
void backtrack(int[] nums,int start){
res.add(new ArrayList(track));
for(int i = start;i<nums.length;i++){
track.add(nums[i]);
backtrack(nums,i+1);
track.removeLast();
}
}
}
1.2.4 组合(组合/子集问题)
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
示例 1：
输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
示例 2：
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]
提示：
1 <= n <= 20
1 <= k <= n
思路以及代码：
这道题和上面那个子集几乎一样，只是给了k并且不考虑空集
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backtrack(n,k,1);
return res;
}
// 路径 track
// 选择集合 比当前节点val大的
// 结束条件 track.size == k
public void backtrack(int n,int k,int start){
if(track.size() == k){
res.add(new ArrayList(track));
return ;
}
for(int i = start;i<=n;i++){
track.add(i);
backtrack(n,k,i+1);
track.removeLast();
}
}
}
1.2.5 全排列 （排列问题）1.2.1做过
给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1]
输出：[[1]]
对于排列问题，只需要用 used 数组标记已经在路径上的元素避免重复选择，然后收集所有叶子节点上的值，就是所有全排列的结果。
1.2.6 子集II （可重复元素的组合/子集）
给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2]
输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]
示例 2：
输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]
代码以及思路：
这道题首先两个点：
给出的集合可以无序：
说明你要先给nums排序给出的nums可以有重复，但是子集不可以重复（例如nums=[1,2,2] 子集里可以出现[2,2],但是不能出现两个[2]）：
需要剪纸，剪纸时机：同一层出现两个val相同的结点
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
Arrays.sort(nums);
backtrack(nums,0);
return res;
}
//路径 track
//路径选择 当同层出现相同val节点，不进行选择
//结束 遍历完成
public void backtrack(int[] nums,int start){
res.add(new ArrayList(track));
for(int i = start;i<nums.length;i++){
//当同层出现相同val节点，进行剪纸
if(i > start && nums[i] == nums[i-1]){
continue;
}
track.add(nums[i]);
backtrack(nums,i+1);
track.removeLast();
}
}
}
1.2.7 排列组合II
给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。
注意：解集不能包含重复的组合。
示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]
示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]
思路以及代码：
这道题就是集合有重复元素 且 让子集和为target
做法很简单，保证子集不出现重复子集的情况下，只要额外用一个 trackSum 变量记录回溯路径上的元素和
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
int tracksum = 0;
public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
if(candidates.length == 0){
return res;
}
Arrays.sort(candidates);
backtrack(candidates,target,0);
return res;
}
void backtrack(int[] candidates,int target,int start){
if(tracksum == target){
res.add(new ArrayList(track));
return ;
}
if(tracksum > target){
return ;
}
for(int i = start;i<candidates.length;i++){
if(i > start && candidates[i] == candidates[i-1]){
continue;
}
track.add(candidates[i]);
tracksum+=candidates[i];
backtrack(candidates,target,i+1);
track.removeLast();
tracksum-=candidates[i];
}
}
}
1.2.7 全排列 II （排列题型）
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
输入：nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
[1,2,1],
[2,1,1]]
示例 2：
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
思路以及代码：
对比一下之前的标准全排列解法代码，这段解法代码只有两处不同：
1、对 nums 进行了排序。
2、添加了一句额外的剪枝逻辑。
这里的剪纸很有讲究：
相同元素在排列中的相对位置保持不变。
比如说 nums = [1,2,2’] 这个例子，我保持排列中 2 一直在 2’ 前面。
当出现重复元素时，比如输入 nums = [1,2,2’,2’‘]，2’ 只有在 2 已经被使用的情况下才会被选择，同理，2’’ 只有在 2’ 已经被使用的情况下才会被选择，这就保证了相同元素在排列中的相对位置保证固定。
// 新添加的剪枝逻辑，固定相同的元素在排列中的相对位置
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {
// 如果前面的相邻相等元素没有用过，则跳过
continue;
}
// 选择 nums[i]
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
boolean[] used;
public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
Arrays.sort(nums);
used = new boolean[nums.length];
backtrack(nums);
return res;
}
void backtrack(int[] nums){
if(track.size() == nums.length){
res.add(new ArrayList(track));
return;
}
for(int i = 0;i<nums.length;i++){
if(used[i] == true){
continue;
}
//因为集合中有重复元素 所以剪枝 ！！！固定相同的元素在排列中的相对位置
if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1]){
continue;
}
used[i] = true;
track.add(nums[i]);
backtrack(nums);
track.removeLast();
used[i] = false;
}
}
}
1.2.8 组合总和 （子集/组合（元素无重可复选））
给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。
candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。
对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。
示例 1：
输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。
示例 2：
输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
示例 3：
输入: candidates = [2], target = 1
输出: []
代码和思路：
首先我们回顾下，普通的子集/组合如何防止重复使用集合的元素？
控制进入下一层递归树的元素，也就是这个 i 从 start 开始，那么下一层回溯树就是从 start + 1 开始，从而保证 nums[start] 这个元素不会被重复使用：
// 无重组合的回溯算法框架
void backtrack(int[] nums, int start) {
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
// ...
// 递归遍历下一层回溯树，注意参数
backtrack(nums, i + 1);
// ...
}
}
因此，如果要是可以选择重复元素的话，只要把 i + 1 改成 i 即可：
// 可重组合的回溯算法框架
void backtrack(int[] nums, int start) {
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
// ...
// 递归遍历下一层回溯树，注意参数
backtrack(nums, i);
// ...
}
}
总代码：
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList();
List<Integer> track = new ArrayList();
int tracksum = 0;
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
trackback(candidates,target,0);
return res;
}
public void trackback(int[] nums,int target,int start){
if(tracksum == target){
res.add(new ArrayList(track));
return ;
}
if(tracksum > target){
return ;
}
for(int i = start;i<nums.length;i++){
tracksum += nums[i];
track.add(nums[i]);
trackback(nums,target,i);
tracksum -= nums[i];
track.removeLast();
}
}
}
1.2.9 排列（元素无重可复选）
以此类推，标准的全排列算法利用 used 数组进行剪枝，避免重复使用同一个元素。如果允许重复使用元素的话，直接放飞自我，去除所有 used 数组的剪枝逻辑就行了。
