由对极约束得到基础矩阵

对极约束是计算机视觉中的一种几何约束，特别是在双目视觉和多目视觉系统中，用于解决摄像机相对姿态估计和三维重建的问题。对极几何基于两个摄像机在同一时刻拍摄同一场景的不同视图这一事实，研究的是同一空间点在不同摄像机图像平面上的投影点之间的关系。

在双目立体视觉中，对极约束主要体现在以下几何特性：

1. 极平面（Epipolar Plane）：

   • 当两个摄像机观察同一个空间点P时，摄像机中心O1和O2以及空间点P确定了一个平面，这个平面被称为极平面。这个平面在每个摄像机的图像平面上都有一个交线，这条交线被称为极线。

2. 极线（Epipolar Line）：

   • 对于任何在第一个摄像机图像平面上的点p1，它的对应点p2（即同一个空间点P在第二个摄像机图像平面上的投影）必须位于第一条摄像机的极线上。同样，p1也必须位于第二条摄像机的极线上。

3. 对极点（Epipole）：

   • 极线的概念延伸出来，每个摄像机图像平面上还有一个特殊点，称为对极点，它是另一个摄像机光心在当前图像平面上的投影。

4. 数学表述：

   • 对极约束可以用数学形式严格表示。在齐次坐标下，假设P是空间点，p1和p2分别是它在两个摄像机图像平面上的投影，O1和O2分别为两个摄像机的光心，R是从第一个摄像机坐标系到第二个摄像机坐标系的旋转矩阵，t是平移向量。对极约束可以表达为（P、p1、p2、O1、O2五点共面）：

     $$t^{\prime }\ast R\ast P\approx t^{\prime }\ast x_2$$

     这里的“≈”表示两个向量在齐次坐标下是平行的，也就是说，它们的方向相同，但是尺度不确定。将此关系变换后，可以得到基础矩阵F或本质矩阵E所满足的约束条件：

     $$x_2^{\prime T}\ast F\ast x_1=0$$

     其中x1和x2分别是点p1和p2的归一化坐标，F是根据R和t计算的基础矩阵，它满足了对极约束。

5. 应用：

   • 对极约束极大地减少了匹配点对的数量，因为它限定了匹配点在另一幅图像中的搜索范围仅限于极线。这对于立体匹配、三维重建、视觉SLAM（同时定位与建图）等领域非常重要，因为它能有效减少计算量和提高匹配的准确性。

综上所述，对极约束是一种强大的几何约束工具，通过它可以解析和估计摄像机之间的相对位置和方向，以及重建三维场景信息。