泊松方程(Poisson Equation):
泊松方程是一个二阶偏微分方程,通常表示为:Δ u = f \Delta u = f Δu=f
其中, Δ \Delta Δ 是拉普拉斯算子, u u u 是未知函数, f f f 是给定的函数。在二维笛卡尔坐标系下,泊松方程可以写成:
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = f \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f ∂x2∂2u+∂y2∂2u=f
泊松方程的解决了平衡情况下的场问题,比如静电场和稳态热传导等。
拉普拉斯方程(Laplace Equation):
拉普拉斯方程是泊松方程的一个特例,即当 f = 0 f = 0 f=0 时的泊松方程。通常表示为:Δ u = 0 \Delta u = 0 Δu=0
在二维笛卡尔坐标系下,拉普拉斯方程变为:
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = 0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
拉普拉斯方程描述了无源场的分布,例如稳态温度分布、势场分布等。
这两个方程在物理学中有着重要的地位,它们的解决了许多自然界和工程领域中的平衡和稳态问题。