代码随想录day38 | 动态规划P1 | ● 理论基础 ● 509● 70 ● 746

509. 斐波那契数 

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

思路

算是动归最入门的题目了, dp数组含义, 递推公式 初始化等题目均说的非常明白

代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // dp[n] 表示f(n)的值
        // 状态转移公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2];
        if(n == 0 || n == 1){
            return n;
        }
        int []dp = new int [n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯 

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

思路

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了

到达第n阶有两种可能,n-1层爬一个 或者 n-2 层爬两个

代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // dp[n] 代表爬到第n阶的所有方法
        // 递推 dp[n] = dp[n-2] + dp[n-1] 到达第n阶有两种可能,n-1层爬一个 或者 n-2 层爬两个
        int dp[] = new int [n+1];
        if(n == 1 || n == 2){
            return n;
        }
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3; i <= n ; i++){
            dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯 

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

思路

dp数组含义就定义为到达n阶的最小代价,

可以想到递推公式 dp[n] = min (dp[n-1] + cost[n-1], dp[n-2] + cost[n-2])

同时注意初始化 dp[0]  dp[1] 为0

代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        // dp[n] 代表 爬到第n阶 需要的最小费用
        // dp[n] = min (dp[n-1] + cost[n-1], dp[n-2] + cost[n-2])
        int n = cost.length;
        int dp[] = new int [n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for(int i=2; i < n+1; i++){
            dp[i] = Math.min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
//            System.out.println(dp[i]);
        }
        return dp[n];
    }
}

递归算法的时间复杂度分析

递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数。

通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！ | 代码随想录 (programmercarl.com)

可以思考一下下列递归算法的时间复杂度, 下列算法均用于 求x的n次方

①

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  // 注意 任何数的0次方等于1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

②

int function2(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1; // return 1 同样是因为0次方是等于1的
    }
    return function2(x, n - 1) * x;
}