python实现假设检验-z检验

一. 什么是z检验

当总体服从正太分布$N(\mu ,{\delta }^2)$时，统计量$z=\frac{\overline{X}-\mu }{\delta /\sqrt{n}}$服从标准正太分布，因此可以利用该统计量对样本均值$\overline{X}$进行假设检验。这种检验方法称为$z$检验法。

适用条件：

1. 总体服从正态分布且方差已知，此时统计量$z=\frac{\overline{X}-\mu }{\delta /\sqrt{n}}$
2. 总体的方差未知，但样本量足够大，一般样本容量$n$需要大于30，此时统计量$z=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$

$\delta$为总体标准差，$S$为样本标准差，$\mu$为总体均值，$\overline{X}$为样本均值。

二. 常见z检验的实现

1. 单样本双边检验

假设某车间用一台包装机包装葡萄糖。已知每袋糖的净重是一个随机变量，且服从标准差为 0.015 kg 的正态分布。某日随机抽取它所包装的9袋糖，称得净重为（kg）：
$$0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512$$ 问每袋糖的净重的均值$\mu$是不是0.5kg？

原假设：$H_0:\mu =0.5kg$
备则假设：$H_1:\mu \ne 0.5kg$

从备则假设的形式可以得知总体的实际均值可能大于0.5kg，也可能小于0.5kg，因此它是一个双边检验，置信水平$\alpha$ = 0.05。

代码实现：

import math
import numpy as np
from scipy.stats import norm

if __name__ == '__main__':
    # 总体标准差
    std = 0.015
    # 置信水平
    alpha = 0.05
    sample = [0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512]
    # 样本均值
    sample_mean = np.mean(sample)

    # 统计量
    z_statistics = (sample_mean - 0.5) / (std / math.sqrt(len(sample)))

    z_left_value = norm(loc=0, scale=1).ppf(alpha / 2)
    z_right_value = norm(loc=0, scale=1).ppf(1 - alpha / 2)
    print("z_statistics: ", round(z_statistics, 2))
    print("z_left_value: ", round(z_left_value, 2), ", z_right_value: ", round(z_right_value, 2))

    # 计算p值
    pval = norm(loc=0, scale=1).sf(abs(z_statistics)) * 2

    if z_statistics > z_right_value or z_statistics < z_left_value:
        print("reject null hypothesis, p value is: ", round(pval, 2))
    else:
        print("not reject null hypothesis, p value is: ", round(pval, 2))

运行结果：

z_statistics:  2.24
z_left_value:  -1.96 , z_right_value:  1.96
reject null hypothesis, p value is:  0.02

2. 单样本单边检验

还是以上面葡萄糖净重的例子，原假设$H_0:\mu =0.5kg$保持不变，将备则假设修改为：$H_1:\mu >0.5kg$，此时该假设检验就变成了右边检验。置信水平$\alpha =0.05$。

代码实现：

import math
import numpy as np
from scipy.stats import norm

if __name__ == '__main__':
    # 总体标准差
    std = 0.015
    # 置信水平
    alpha = 0.05
    sample = [0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512]
    # 样本均值
    sample_mean = np.mean(sample)

    # 统计量
    z_statistics = (sample_mean - 0.5) / (std / math.sqrt(len(sample)))

    z_right_value = norm(loc=0, scale=1).ppf(1 - alpha)
    print("z_statistics: ", round(z_statistics, 2))
    print("z_right_value: ", round(z_right_value, 2))

    # 计算p值
    pval = norm(loc=0, scale=1).sf(abs(z_statistics))

    if z_statistics > z_right_value:
        print("reject null hypothesis, p value is: ", round(pval, 2))
    else:
        print("not reject null hypothesis, p value is: ", round(pval, 2))

运行结果：

z_statistics:  2.24
z_right_value:  1.64
reject null hypothesis, p value is:  0.01