算法之美：二叉堆原理剖析及堆应用案例讲解及实现

什么是堆

        堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构，通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

完全二叉树

         只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶节点集中在靠左连续的边界，只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，完全二叉树需保证最后一个节点之前的节点都齐全；
        对任一结点，如果其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1

什么是大顶堆（最大堆）

        大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大，每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样。

 什么是小顶堆（最小堆）

        小顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都小于或等于其子节点的值，即根节点的值最小。每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样

存储原理剖析

        1）一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆；

        2）堆是一种非线性结构，用数组来存储完全二叉树是非常节省空间，把堆看作一个数组
方便操作，一般数组的下标0不存储，直接从1节点存储；

        3）堆其实就是利用完全二叉树的结构来维护一个数组；

        4）数组中下标为 k 的节点：

                左子节点下标为 2*k 的节点；
                右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点；
                父节点就是下标为 k/2 取整的节点；

        5）对节点在树中的上下移动

                arr[k] 向上移动一层，则让k = k/2
                arr[k] 向下移动一层，则让k=2 k 或 k=2 k+1

 堆的定义通过公式描述：

        大顶堆：arr[k] >= arr[2k+1] && arr[k] >= arr[2k] 
        小顶堆：arr[k] <= arr[2k+1] && arr[k] <= arr[2k]

 应用场景简单介绍

        优先级队列、高精度定时器、TopK问题  ...

        下面我们将以高精度定时器案例进行讲解和代码实现。

二叉堆构建流程

        新插入一个元素之后，就是往数组最后面追加数据，堆可能就不满足堆的特性，需要进行调整，重新满足堆的特点，即该公式：大顶堆：arr[k] >= arr[2k+1] && arr[k] >= arr[2k] ，小顶堆：arr[k] <= arr[2k+1] && arr[k] <= arr[2k]，顺着节点所在的路径，向上对比，然后交换。

小顶堆演示动画：Heap Visualization (usfca.edu)

         往堆中插入新元素，就是往数组中从索引0或1开始依次存放数据，但是顺序需要满足堆的特性如何让堆满足：
     1）不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置；
     2）直到找到的父节点比当前新增节点大则结束；
     3）无需关注同级节点；

 大顶堆编码实现

        大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大。

public class Heap {
    //用数组存储堆中的元素
    private int[] items;

    //堆中元素的个数
    private int num;

    public Heap(int capacity) {
        //数组下标0不存储数据，所以容量+1
        this.items = new int[capacity + 1];
        this.num = 0;
    }

    /**
     * 判断堆中 items[left] 元素是否小于 items[right] 的元素
     */
    private boolean rightBig(int left, int right) {
        return items[left] < items[right];
    }

    /**
     * 交换堆中的两个元素位置
     */
    private void swap(int i, int j) {
        int temp = items[i];
        items[i] = items[j];
        items[j] = temp;
    }

    /**
     * 往堆中插入一个元素，默认是最后面，++num先执行，然后进行上浮判断操作
     */
    public void insert(int value) {
        items[++num] = value;
        up(num);
    }

    /**
     * 使用上浮操作，新增元素后，重新堆化
     * 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
     * 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束
     * <p>
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void up(int k) {
        //父节点 在数组的下标是1，下标大于1都要比较
        while (k > 1) {
            //比较 父结点 和 当前结点 大小
            if (rightBig(k / 2, k)) {
                //当前节点大，则和父节点交互位置
                swap(k / 2, k);
            }
            // 往上一层比较，当前节点变为父节点
            k = k / 2;
        }

    }

    /**
     * 删除堆中最大的元素,返回这个最大元素
     */
    public int delMax() {
        int max = items[1];
        //交换索引 堆顶的元素（数组索引1的）和 最大索引处的元素，放到完全二叉树中最右侧的元素，方便后续变为临时根结点
        // 为啥不能直接删除顶部元素，因为删除后会断裂，成为森林，所以需要先交互，再删除
        swap(1, num);
        //最大索引处的元素删除掉, num--是后执行，元素个数需要减少1
        items[num--] = 0;

        //通过下浮调整堆，重新堆化
        down(1);
        return max;
    }

    /**
     * 使用下沉操作，堆顶和最后一个元素交换后，重新堆化
     * 不断比较 节点 arr[k]和对应 左节点arr[2*k] 和 右节点arr[2*k+1]的大小，如果当前结点小，则需要交换位置
     * 直到找到 最后一个索引节点比较完成  则结束
     * <p>
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void down(int k) {
        //最后一个节点下标是num
        while (2 * k <= num) {
            //记录当前结点的左右子结点中，较大的结点
            int maxIndex;
            if (2 * k + 1 <= num) { //2 * k + 1 <= num 是判断 确保有右节点
                //比较当前结点下的左右子节点哪个大
                if (rightBig(2 * k, 2 * k + 1)) {
                    maxIndex = 2 * k + 1;
                } else {
                    maxIndex = 2 * k;
                }
            } else {
                maxIndex = 2 * k;
            }

            //比较当前结点 和 较大结点的值, 如果当前节点较大则结束
            if (items[k] > items[maxIndex]) {
                break;
            } else {
                //否则往下一层比较，当前节点k索引 变换为 子节点中较大的值
                swap(k, maxIndex);
                //变换k的值
                k = maxIndex;
            }

        }
    }

    //    测试
    public static void main(String[] args) {

        Heap heap = new Heap(20);
        heap.insert(42);
        heap.insert(48);
        heap.insert(93);
        heap.insert(21);
        heap.insert(90);
        heap.insert(9);
        heap.insert(3);
        heap.insert(40);
        heap.insert(32);

        int top;
        while ((top = heap.delMax()) != 0) {
            System.out.print(top + ",");
        }
    }
}

堆应用案例：高精度定时器

        实现一个定时器的任务存储，支持很多不同时间的定时任务，要求高精度，1秒级别执行

方案一：

        数据库建立一个task表，存储到数据库或Redis里面，每隔1秒扫描一遍定时任务列表，获取要执行的任务；

        缺点：每次都需要遍历整个定时任务列表，有些很久才执行的任务，也需要被IO遍历，浪费CPU，由于列表比较大，每次遍历都耗时多；

方案二：

        使用【小顶堆】数据结构存储，小顶堆的插入操作就是在最小堆最后插入一个节点，然后重新调整小顶堆的结构，每隔一秒扫下堆顶元素，删除堆顶元素进行执行任务即可，然后重新堆化
key规则是【年月日时分秒】比如：2024-03-29-23-41-22 作为key，堆顶的元素就是最小的。

优先级队列： 传统队列特性就是先进先出，支持优先级排序，优先级高的最先出队（大顶堆实现），优先级队列实现方式有多种，堆去实现属于高效的一种方案
Java的PriorityQueue就是通过二叉小顶堆实现，用一棵完全二叉树表示，通过数组来作为PriorityQueue的底层实现，JDK的PriorityQueue默认是最小堆，可以使用比较器来让它变成最大堆。

编码实现

public class MaxHeapPriorityQueue<T extends Comparable<T>> {

    /**
     * 用数组存储堆中的元素
     */
    private T[] items;

    /**
     * 记录堆中的元素个数
     */
    private int num;

    public MaxHeapPriorityQueue(int capacity) {
        //数组下标0，不存储数据，所有容量要+1
        this.items = (T[]) new Comparable[capacity+1];
        this.num = 0;
    }


    /**
     * 判断队列是否为空
     * @return
     */
    public boolean isEmpty() {
        return num==0;
    }

    /**
     * 比较大小,item[left] 元素是否小于 item[right]的元素
     */
    private boolean rightBig(int left, int right) {
        return items[left].compareTo(items[right])<0;
    }

    /**
     * 交互堆中两个元素的位置
     */
    private void swap(int i, int j) {
        T temp = items[i];
        items[i] = items[j];
        items[j] = temp;
    }

    /**
     * 往堆中插入一个元素，默认是数组最后面，然后进行上浮操作，++num会先执行，第一个数组0索引不存储数据
     */
    public void insert(T value) {
        items[++num] = value;
        up(num);

    }

    /**
     * 使用上浮操作，新增元素后，重新堆化
     * 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
     * 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束
     * <p>
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void up(int k) {
        //父节点，在线数组的下标是1，数组索引大于1都要比较
        while (k > 1) {
            //比较 父节点 和 当前节点 的大小
            if (rightBig(k / 2, k)) {
                //如果当前节点比父节点大，则交互位置
                swap(k / 2, k);
            }
            //当前节点往上一层，当前节点变成父节点
            k = k / 2;
        }
    }

    /**
     * 使用下沉操作，堆顶和最后一个元素交换后，重新堆化
     * 不断比较 节点 arr[k]和对应 左节点arr[2*k] 和 右节点arr[2*k+1]的大小，如果当前结点小，则需要交换位置
     * 直到找到 最后一个索引节点比较完成  则结束
     * <p>
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void down(int k) {
        // 最后一个节点的下标是num
        while (2 * k <= num) {

            //记录当前节点的左右子节点，较大的节点
            int maxIndex;

            if (2 * k + 1 <= num) {
                if (rightBig(2 * k, 2 * k + 1)) {
                    maxIndex = 2 * k + 1;
                } else {
                    maxIndex = 2 * k;
                }
            } else {
                maxIndex = 2 * k;
            }

            //比较当前节点和较大接的值，如果当前节点大则结束
            if (items[k].compareTo(items[maxIndex]) > 0) {
                break;
            } else {
                //否则往下一层比较，当前节点的k变为子节点中较大的值
                swap(k, maxIndex);
                k = maxIndex;
            }

        }

    }


    /**
     * 删除堆中最大的元素，并且返回这个元素
     *
     * @return
     */
    public T delMax() {

        T maxValue = items[1];
        //交换索引 堆顶的元素（数组索引1的）和 最大索引处的元素，放到完全二叉树中最右侧的元素，方便后续变为临时根结点
        // 为啥不能直接删除顶部元素，因为删除后会断裂，成为森林，所以需要先交互，再删除
        swap(1, num);
        //最大索引处的元素删除，num--是后执行，元素个数需要减少1
        items[num--] = null;

        //通过下沉操作，重新堆化
        down(1);

        return maxValue;
    }
}

public class Task implements Comparable<Task> {
    private int weight;
    private String name;

    public Task(String name,int weight){
        this.weight = weight;
        this.name = name;
    }

    public void doTask(){
        System.out.println(name+" task 运行，权重 = "+weight);
    }

    @Override
    public int compareTo(Task task) {
            return this.weight - task.weight;
    }

}

 public static void main(String[] args) {
        MaxHeapPriorityQueue<Task> queue = new MaxHeapPriorityQueue(20);

        queue.insert(new Task("99任务",99));
        queue.insert(new Task("88任务",88));
        queue.insert(new Task("200任务",200));
        queue.insert(new Task("70任务",70));
        queue.insert(new Task("300任务",300));
        queue.insert(new Task("10任务",10));


        //通过循环从队列中获取最大的元素
        while(!queue.isEmpty()){
            Task task = queue.poll();
            task.doTask();
        }

    }