数学分析复习：指数函数的构造

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

指数函数

定义和性质

定义：（指数函数）
$$exp:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto exp(x)=e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$注：需验证良定义性：即每一点均收敛（只需将阶乘放缩为幂函数）

性质

• 指数函数是一个群同态：即保持 $(\mathbb{R},+)$ 到 $({\mathbb{R}}_{>0},\cdot )$ 的运算$$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$$

为证明该性质，需要引入两个级数的乘积

级数乘积

定义：（双指标序列）
即映射$$F:{\mathbb{Z}}_{\ge 1}\times {\mathbb{Z}}_{\ge 1}\to \mathbb{R},(i,j)\mapsto F(i,j)=x_{i,j}$$

定义：（双指标序列的重排）
指标 $i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1},j\in \mathbb{Z}$的重排即双射 $$\Phi :{\mathbb{Z}}_{\ge 1}\to {\mathbb{Z}}_{\ge 1}\times \mathbb{Z},n\mapsto \Phi (n)$$称 $\Phi (n)$ 是一个双指标，数列 { y n } \{y_n\} {yn​} 称为双指标序列 { x Φ ( n ) } \{x_{\Phi(n)}\} {xΦ(n)​} 的一个重排

注：直观上重排即：二维指标和一维指标的某种一一对应关系

命题：级数的乘积
设实数项级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ , { c n } n ≥ 1 \{c_n\}_{n\geq 1} {cn​}n≥1​ 是 { a i b j } i , j ≥ 1 \{a_ib_j\}_{i,j\geq 1} {ai​bj​}i,j≥1​ 的一个重排，若下列条件满足其一，

1. $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$是收敛的正项级数
2. $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$是绝对收敛的级数

则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k$ 收敛且
$$\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k=(\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k)(\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k)$$

注：一般所说的级数的Cauchy乘积是取如下的重排：$n\mapsto (i,j),(i+j=n)$，即$$\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j$$

证明
（正项级数情形）

• 由定理：单调有界数列收敛，要证目标级数收敛，只需证部分和有界
  $$\sum _{n=1}^N{c}_n\le (\sum _{k=1}^{N_1}{a}_k)(\sum _{l=1}^{N_2}{b}_l)\le (\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k)(\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k)$$
• 对任意 $N_3,N_4$，存在 $N$ 有$$(\sum _{k=1}^{N_3}{a}_k)(\sum _{l=1}^{N_4}{b}_l)\le \sum _{n=1}^N{c}_n\le (\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k)(\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k)$$ 又令 $N_3,N_4\to \infty$ 则得极限值

（绝对收敛情形）

• 对任意实数 $x$ ，定义其正部和负部
  $$x^{+}=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ 0,& x\le 0\end{array}{x}^{-}=\{\begin{array}{ll}0,& x\ge 0\\ -x,& x\le 0\end{array}$$则 $x=x^{+}-x^{-}$
• 只需将 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ 分别拆分为 正部之和、负部之和再进行讨论，就容易得到结论

富必尼（Fubini）定理
级数形式的 Fubini 定理：设级数 $\sum _{k=2}^{\infty }(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j)$ 绝对收敛，则
$$\sum _{i=1}^{\infty }(\sum _{j=1}^{\infty }{a}_i{b}_j)=(\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k)(\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k)=\sum _{j=1}^{\infty }(\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i{b}_j)$$

回过头来证明 $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$，以上内容保证以下操作均合法

证明
$$\begin{array}{rl}{e}^x\cdot e^y& =(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!})(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{y^k}{k!})\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i+j=k}\frac{x^i}{i!}\frac{x^j}{j!}\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}\sum _{i+j=k}\frac{k!}{i!j!}{x}^i\cdot y^j\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}(x+y{)}^k=e^{x+y}\end{array}$$

参考书：

• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著