LeetCode刷题--- 摆动序列

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

摆动序列

题目链接：摆动序列

题目

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。

• 例如， [1, 7, 4, 9, 2, 5] 是一个 摆动序列 ，因为差值 (6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。

• 相反，[1, 4, 7, 2, 5] 和 [1, 7, 4, 5, 5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。

示例 1：

输入：nums = [1,7,4,9,2,5]
输出：6
解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为 (6, -3, 5, -7, 3) 。

示例 2：

输入：nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]
输出：7
解释：这个序列包含几个长度为 7 摆动序列。
其中一个是 [1, 17, 10, 13, 10, 16, 8] ，各元素之间的差值为 (16, -7, 3, -3, 6, -8) 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
输出：2

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 1000

进阶：你能否用 O(n) 时间复杂度完成此题?

解法

算法原理解析

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

• 状态显示

但是，问题来了，如果状态表⽰这样定义的话，以 i 位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度我们没法从之前的状态推导出来。因为我们不知道前⼀个最⻓摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因 此，我们需要状态表⽰能表⽰多⼀点的信息：要能让我们知道这⼀个最⻓摆动序列的结尾是递增的还是递减的。

1. f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆 动序列的⻓度；
2. g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆 动序列的⻓度

• 状态转移方程

1. 子序列长度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 f[i] = 1 ；
2. 子序列长度⼤于 1 ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要 nums[j] < nums[i] 。在满足这个条件下， j 结尾需要呈现下降状态，最长的摆动序列就是 g[j] + 1 。

1. f[i] = max(g[j] + 1, f[i])
2. g[i] = max(f[j] + 1, g[i])

• 初始化（防止填表时不越界）

• 填表顺序

根据「状态转移⽅程」易得，填表顺序为「从左往右」。

• 返回值

应该返回「两个 dp 表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」。

代码实现 

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();

        // 状态显示
        vector<int> f(n + 1, 1);			// 以i为结尾，呈上升趋势的摆动子序列
        vector<int> g(n + 1, 1);			// 以i为结尾，呈下降趋势的摆动子序列

        int ans = 1;						// 最长的摆动子序列
        // 填表
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                if (nums[j] < nums[i])
                {
                    f[i] = max(g[j] + 1, f[i]);
                }
                else if (nums[j] > nums[i])
                {
                    g[i] = max(f[j] + 1, g[i]);
                }
                ans = max(ans, max(f[i], g[i]));
            }
        }
        // 返回
        return ans;
    }
};