如何精确计算 π ？
01
原本是要回顾一下第六章内容，也就是“间隔性重复”。但我已经迫不及待，想要知道如何精确计算 π ，因此，我们快走一步，来探讨一下 π 的计算。
对于 π 的计算，我从学校时学到之后，就一直有一个疑问，说计算机可以把 π 计算到小数点后 10 亿位，100 亿位，到底是怎么计算的？
肯定不是用祖冲之或刘徽的那种算法。
我的意思是说，肯定不可能是用物理测量的方法，而一定是有一个数学的精确公式。
当然，这里所说的精确，是指一种确定性，而不是真正的某个数。现在我们已经具备了所有的条件，就看怎么来设计这个计算公式了。
02
当然， π 既然与圆周长及圆面积相关，我们还是应该从这两个概念入手。
首先，我们知道，半径为 r 的圆面积是
A(r) = πr2
因此，如果圆的半径为 1 ，那么面积则为 π 。
而我们可以将圆视为一条封闭的弯曲线条，曲线的面积计算，我们在前面已经探讨了，这里我们看是否能用上，以及如何运用。
其次，我们又探讨了曲线长度的计算，与此相对应，是圆周长的计算，而我们知道半径为 r 的圆，周长是
L(r) = 2πr
同样，半径 r=1 ，那么周长为 2π 。
然后呢？
由于我们讨论的微分与积分，均与函数相关，我们于是可以将 A(r) 与 L(r) 都看成是函数。又因为当 r = 1 时，就可以得到纯粹的 π ，那么，我们可以将这两个函数看成是 A(1) 与 L(1) 。即
A(1) = π
L(1) = 2π
然后呢？
好像毫无头绪。
老办法，我们再回过头去看看走过的老路，看能不能绕到老路上去。
03
如果有一种函数，当 x=1 时，m(x)= π 呢？
当然会有，比如
m(x)= πx
或者
m(x)= πx
这两种函数在 x=1 时，m(x)= π 。
但我们知道， m(x)= πx 其实是以 π 为斜率的直线，显然不是。
m(x)= πx
是不是呢？
也不好说。
这是一个指数函数，我们前面讨论过，我们还知道指数函数有一个特殊的数 e ， f(x)=ex ，其导数就是其本身，即
(ex)'=ex
而且，我们还通过泰勒级数，计算出了 e 大约等于 2.71828。
那么，我们可不可以利用泰勒级数，像计算 e 一样，计算出 π 呢？
可以试试。
04
使用泰勒级数之前，从哪里开始呢？
我们应该想到，曲线的面积与长度，均与积分相关，而积分，又与反导数相关。
那么，我们在考察 A(1) 与 L(1) 函数，输入 1 ，输出 π 的同时，是不是应该思考有没有什么函数，输入 π 而输出 1 呢？
有的。或者说，有相似的函数。
那就是正弦函数 f(x)=sin(x) 。
我们前面在探讨正弦函数的时候，其实是以半径为 1 的圆来考察的，这与我们本篇文章的设定恰好完全一致。
我们也知道了，如果以圆周长来定义角度，那么
sin(π/2)=1
即输入 π/2，输出 1 。符合我们的设想。
也就是说，现在我们想要有两种函数，一种函数是输入 1 ，输出 π ；一种函数是输入 π ，输出 1 。我们设前一种函数为 ∧ ，后一种函数为 ∨ ，没有别的意思，仅仅是因为 ∧ 与 ∨ 这两个符号看起来相反。我们命名为 qp ，或者 db 也行。
那么，我们希望得到的两种函数，二者关系如下：
∧(∨(x))=x
或者
∨(∧(x))=x
我们让 ∨(x) 就是 sin(x) ，即
∨(π/2)=1
那么
∧(1)=π/2
即
π= 2·∧(1)
我们再让 A(x)= ∧(∨(x)) ，其实也就是 A(x)=x 。
很显然，A(x)= x 是斜率为 1 的直线，即
A'(x)=dA/dx
=1
把 A(x)= ∧(∨(x)) 代入，即
1= dA(x)/dx
= d∧(∨(x))/dx
= [d∧(∨(x))/d∨]·[d∨/dx]
这是什么东西啊？
完全没有头绪啊。
不过，前面我们已经令 ∨(x) = sin(x) ，而我们也在三角函数的导数（数学学习 030）中，知道 sin(x) 的导数为 cos(x) 。即
d∨/dx = cos(x)
我们设 H(x)= cos(x) 吧，那么
1=H(x)·[d∧(∨(x))/d∨]
好像也没有什么头绪，我们还有 d∧(∨(x))/d∨不知道是什么东西。
怎么办呢？
05
我们还是从 d∧(∨(x))/d∨入手。
[d∧(∨(x))/d∨] 似乎可以简写为
d∧(∨)/d∨
内涵没变，只是看起来简单一点，即
1=H(x)·[d∧(∨)/d∨] (1)
变一下形
d∧(∨)/d∨=1/H(x)
这里的 H(x) 显得很突兀，我们还是把 H(x) 改为用 ∨(x) 来表示吧。
怎么改呢？
我们知道，根据毕达哥拉斯定理
[sin(x)]2+[cos(x)]2=1
那么
cos(x)=[1-(sin(x))2]1/2
即
d∧(∨)/d∨=1/[1-∨2]1/2
我们令 ∨=x ，那么
不过，经过几次的变换之后，这个公式当中的 x ，还是那个变量吗？会不会变成了一个“约束变量”？
我们可以检验一下。
06
所谓检验，可以是我们试着用另外一种途径来运算，看会不会得出同样的结果。
前面，我们的出发点是 A(x)= ∧(∨(x)) ，即 A(x)=x ，即 A(x) 的导数为 1 。那么，我们这次的出发点改为 A(x)= ∨(∧(x)) ，还是 A(x)=x ，导数为 1 。
1=[dA(x)]/dx
因为 A(x)= ∨(∧(x)) ，即
1=[d∨(∧(x))]/dx
= [d∨(∧(x))]/dx·[d∧(x)/d∧(x)]
= [d∧(x)/dx]·[d∨(∧(x))]/d∧(x)
简化一下，即
1=[d∧/dx]·[d∨(∧)]/d∧
其中
[d∨(∧)]/d∧，其实就是前面说过的 H(∧)，即
1=[d∧/dx]·H(∧)
同样，我们用 ∨(∧) 来表示 H(∧) 。即
H(∧)=[1-(∨(∧))2]1/2
那么
1=[d∧/dx]·[1-(∨(∧))2]1/2
变形
d∧/dx= 1/[1-(∨(∧))2]1/2
而
∨(∧)=∨(∧(x))
= x
即
d∧/dx= 1/[1-x2]1/2
即
Perfect 。
07
不过，我们做到现在，似乎越走越远了，都忘了一开始我们是为了什么出发。
我们回头看看，这个 ∧是什么？
哦，原来是圆的面积函数 A(x) ，其中 x 就是圆的半径。而且，我们也知道了，如果圆的半径为 1 ，那么
A(1)=π
不过，为了与 V(x) 统一，我们最后计算出 π=2 ∧(1) 。
既然 ∧(x) 就是圆的面积函数，那么对其求导之后的 d∧/dx 不就是相当于积分中的 m(x) 吗？也就是
我们可以让 b=1 ，不就是 ∧(1) 吗？而且，我们也可以把 d∧/dx= 1/[1-x2]1/2 代入这个公式，即
嗯， ∧(1) 有了，后面这个 ∧(a) 有点讨嫌，能够去掉吗？
我们让 a=0 试试。
因为 V(x)=sin(x)，所以 V(0)=0 ，而 A(V(0))=0 即 A(0)=0 。那么
啊哈，我们将 π=2 ∧(1) 代进去，π 的表达式就是
这个根号好像有一点讨嫌，能不能去掉呢？
08
我们记得三角函数中，正切的导数有一个 T2 ，没有根号。我们将 Tan(x) 简化为 T(x) ，即
T'(x)=1+T2
能不能用 tan 解决上述根号问题呢？
首先用 sin(x) 即 V(x) 和 cos(x) 即 H(x) 来表示 T(x) ，即
T(x)= V(x)/H(x)
我们知道，当 x = π/4 时，V=H ，即
T(π/4)= 1
我们设 ⊥(x) 是 T(x) 的反函数，也就是
⊥(T(x))=x
或
T(⊥(x))=x
因为T(π/4)= 1，那么
⊥(1)=⊥(T(π/4))
=π/4
变形
π= 4 ·⊥(1)
我们之前已经假设了 A(x)=x ，而⊥(T(x))=x ，因此
A(x)=⊥(T(x))
求导
1= dA/dx
= d⊥(T(x))/dx
= d⊥(T(x))/dx·dT(x)/dT(x)
=[dT/dx]·[d⊥(T)]/dT
而 dT/dx = 1+ T2
代入
d⊥(T)/dT=1/(1+ T2)
由于全部是 T ，因此 T 可以用 x 表示，即
d⊥(x)/dx=1/(1+ x2)
同样，求积分
令 a=0 ，b=1 ，结合 π= 4 ·⊥(1) 我们可以得到 π 的表达式
嗯，这感觉好一点。
现在可不可以使用泰勒级数了呢？
我们试试，为了简化，我们可以先令 s=x2 ，即令
m(s)=(1+s)-1
那么
m'(s)=(-1)·(1+s)-2
m''(s)=(-1)·(-2)·(1+s)-3
……
m(n)(s)=(-1)·(-2)·…·(-n)(1+s)-n-1
即
m(n)(0)=(-1)·(-2)·…·(-n)
=(-1)n·n!
好，现在开始用泰勒级数，即
将 s 换回 x2 ，即
代入 π 的表达式
新的 π 的表达式为
好像有点麻烦，好复杂，换一种形式
我们再利用积分公式
将 π 的表达式改为
即
其实也可以表述为
09
这就好办了，我们交给计算机来计算。
当 n=100,000 时
π =3.141 60
当 n=1,000,000 时
π=3.141 59
因此，我们可以根据计算机的计算能力，不断地扩大 π 小数点后的位数。
随着科技的不断进步和发展，截止到2021年8月17日，瑞士的研究人员使用了一台超级计算机，经历了108天，精准地将圆周率 π 计算到了小数点后的62.8万亿位。
