概率基础——极大似然估计
引言
极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中最常用的参数估计方法之一，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值，以使得样本出现的概率最大化。极大似然估计在各个领域都有着广泛的应用，例如机器学习、生物统计学、金融等。本文将介绍极大似然估计的理论基础、公式推导过程，并通过案例和Python代码进行实现和模拟，以帮助读者更好地理解这一重要的概率基础知识。
理论及公式
极大似然估计的基本思想
极大似然估计的基本思想是：在给定样本的情况下，找到一个参数值，使得观察到这个样本的概率最大。假设我们有一个参数为 θ \theta θ的模型，记为 P ( X ∣ θ ) P(X|\theta) P(X∣θ)，其中 X X X是样本， θ \theta θ是参数。那么， θ \theta θ的极大似然估计 θ ^ \hat{\theta} θ^可以通过最大化似然函数 L ( θ ) L(\theta) L(θ)来求得，即：
θ ^ = arg max θ L ( θ ) \hat{\theta} = \underset{\theta}{\arg \max} \, L(\theta) θ^=θargmaxL(θ)
似然函数
似然函数 L ( θ ) L(\theta) L(θ)表示在给定参数 θ \theta θ 下观察到样本 X X X的概率密度函数（或概率质量函数）的乘积。对于连续型随机变量，似然函数通常表示为概率密度函数的连乘积；对于离散型随机变量，似然函数通常表示为概率质量函数的连乘积。
对数似然函数
在实际应用中，通常使用对数似然函数（Log-Likelihood Function）来简化计算，因为连乘积的求导相对繁琐，而连加的求导更加简单。对数似然函数 ℓ ( θ ) \ell(\theta) ℓ(θ) 定义为似然函数的自然对数：
ℓ ( θ ) = log L ( θ ) \ell(\theta) = \log L(\theta) ℓ(θ)=logL(θ)
极大似然估计的求解
要找到极大似然估计 θ ^ \hat{\theta} θ^，我们需要对对数似然函数 ℓ ( θ ) \ell(\theta) ℓ(θ)求导，并令导数等于零，求解得到的解即为估计值。
d ℓ ( θ ) d θ = 0 \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = 0 dθdℓ(θ)=0
例子
下面我们通过一个简单的例子来说明极大似然估计的应用。假设我们有一个硬币，想要估计出正面朝上的概率 p p p。我们连续地抛掷这个硬币，观察到正面朝上 k k k次，总共抛掷了 n n n 次。我们希望通过这些观察结果来估计正面朝上的概率 p p p。
案例
极大似然估计硬币的正面朝上概率
假设我们连续抛掷一个硬币10次，观察到有7次正面朝上和3次反面朝上。我们想要估计出正面朝上的概率 ( p )。根据二项分布的概率密度函数，我们可以得到似然函数：
L ( p ) = ( 10 7 ) p 7 ( 1 − p ) 3 L(p) = \binom{10}{7} p^7 (1-p)^3 L(p)=(710)p7(1−p)3
我们可以求得对数似然函数：
ℓ ( p ) = log L ( p ) = log ( 10 7 ) + 7 log p + 3 log ( 1 − p ) \ell(p) = \log L(p) = \log \binom{10}{7} + 7 \log p + 3 \log (1-p) ℓ(p)=logL(p)=log(710)+7logp+3log(1−p)
接下来，我们对对数似然函数求导，并令导数等于零，求解得到的解即为估计值 p ^ \hat{p} p^。
Python模拟与绘图
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar
# 定义对数似然函数
def log_likelihood(p, n, k):
return np.log(np.math.comb(n, k)) + k * np.log(p) + (n - k) * np.log(1 - p)
# 定义负对数似然函数（因为 minimize_scalar 函数寻找最小值）
def neg_log_likelihood(p, n, k):
return -log_likelihood(p, n, k)
# 模拟抛硬币实验
n_trials = 10 # 抛硬币的总次数
k_heads = 7 # 正面朝上的次数
# 最大化对数似然函数来估计正面朝上的概率
result = minimize_scalar(neg_log_likelihood, args=(n_trials, k_heads), bounds=(0, 1), method='bounded')
estimated_p = result.x
# 绘制结果
p_values = np.linspace(0, 1, 100)
likelihoods = [np.exp(log_likelihood(p, n_trials, k_heads)) for p in p_values]
plt.plot(p_values, likelihoods)
plt.axvline(x=estimated_p, color='r', linestyle='--', label='Estimated p: {:.3f}'.format(estimated_p))
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('Likelihood')
plt.title('Likelihood Function')
plt.legend()
plt.show()
以上代码首先定义了对数似然函数和负对数似然函数，然后利用 minimize_scalar 函数来最大化对数似然函数，并求解得到正面朝上概率 p ^ = 0.7 \hat{p}=0.7 p^=0.7。根据图像可以看出，估计的概率密度函数与观测数据的分布情况较为吻合。
结论
通过本文的介绍，我们了解了极大似然估计的基本理论、推导过程，并通过一个案例演示了如何使用Python实现对极大似然估计的模拟，并绘制出相应的图像进行说明。
