一、导言
约瑟夫环（Josephus Problem）是一个经典的数学问题，涉及一个编号为 1 到 n 的人围成一圈，从第一个人开始报数，报到某个数字 m 的人出列，然后再从下一个人开始报数，如此循环，直到所有人都出列。本篇博客将详细解析约瑟夫环问题，并使用 Python 实现算法。
二、问题分析
在约瑟夫环问题中，有两个变量需要确定：人数 n 和报数的数字 m。当给定 n 和 m 后，需要确定最后留下的人的编号。例如，当 n=7，m=3 时，约瑟夫环问题的过程如下：
- 1 2 3 4 5 6 7 （初始状态）
- 1 2 4 5 6 7（第3个人出列，报数到3）
- 1 2 4 5 7（第6个人出列，报数到3）
- 1 4 5 7（第2个人出列，报数到3）
- 1 4 5（第7个人出列，报数到3）
- 1 4（第5个人出列，报数到3）
- 4（第1个人出列，报数到3）
因此，最后留下的人的编号为 4。
三、解决方案
解决约瑟夫环问题的一种常见思路是使用循环链表。首先，我们可以创建一个循环链表，并将人的编号作为节点的值。然后，从第一个节点开始，依次报数，当报数到达 m 时，移除当前节点，继续下一个节点，直到只剩下一个节点为止。
下面是使用 Python 实现约瑟夫环问题的代码：
"""
定义单向链表节点类
"""
class Node:
def __init__(self, value):
# 节点的值
self.value = value
# 指向下一个节点
self.next = None
class CircularLinkedList:
def __init__(self):
self.head = None
def append(self, value):
"""
append: 在链表末尾添加一个新节点，
如果链表为空，则将头节点指向新节点，新节点的 next 指针指向头节点，
否则遍历链表找到尾节点并将其 next 指向新节点，同时新节点的 next 指针指向头节点，以形成循环
:param value:
:return:
"""
new_node = Node(value)
if not self.head:
self.head = new_node
self.head.next = self.head
else:
current = self.head
# 循环找到最后一个节点
while current.next != self.head:
current = current.next
current.next = new_node
new_node.next = self.head
def remove(self, value):
"""
从链表中移除一个值为 value 的节点
遍历链表找到要移除的节点，并将其前一个节点的 next 指针跳过该节点，实现移除操作。
:param value:
:return:
"""
if not self.head:
# 头节点为空执行
# 如果链表为空，则结束方法
return
current = self.head
prev = None
while True:
if current.value == value:
if current == self.head:
temp = self.head
while temp.next != self.head:
temp = temp.next
temp.next = self.head.next
self.head = self.head.next
else:
prev.next = current.next
break
prev = current
current = current.next
if current == self.head:
break
def get_survivor(self, m):
"""
根据约瑟夫环问题，找到最后留下的人的编号，其中参数 m 表示每次移除第 m 个人。
使用循环遍历链表，每次移除第 m 个节点，直到只剩下一个节点为止，返回该节点的值。
:param m:
:return:
"""
current = self.head
while current.next != current:
count = 1
while count != m:
current = current.next
count += 1
self.remove(current.value)
current = current.next
return current.value
def josephus(n, m):
linked_list = CircularLinkedList()
for i in range(1, n+1):
linked_list.append(i)
return linked_list.get_survivor(m)
if __name__ == '__main__':
n = 5
m = 2
survivor = josephus(n, m)
print(f"The survivor's number is: {survivor}")
