实验3:数值计算实验

实验3:数值计算实验

3.1 基础训练

1. 方程求根

编程调用fzero求解方程$2x^3-3x^2+4x-5=0$的实数根，并将所求根赋给变量xp，编写一个函数调用fzero，并返回xp.

解:求一阶导，得$6x^2+6x+4>0$,故至多只有一个实数根，不妨求$x_0=1$附近的实数根。

函数代码如下：

function xp = root

    f = @(x)(2*x.^3-3*x.^2+4*x-5);
xp = fzero(f,1);

end

运行结果:

2. 请用Euler法求解下列微分方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0.02(1-0.001y)y,\\ y(0)=10\end{array}$

并将Euler求解结果与Matlab的ode23函数求解结果绘图进行对比.

注：先写出Euler法迭代公式，再编程实现.

解：

Euler函数文件代码：

function [t,y] = odeEuler (diffeq,tn,h,y0)
t = (0:h:tn)';
n = length(t);
y = y0 * ones(n,1);
for k =2:n;
    y (k) = y(k-1) + h*feval(diffeq,t(k-1),y(k-1));
end

函数文件:

function dfun = fun1(t,y)
    dfun = 0.02*(1-0.01*y).*y;
end

脚本文件:

[t1,y1] = odeEuler(@fun1,300,1,10)
[t2,y2] = ode23(@fun1,[0:300],10)
plot(t1,y1,'r',t2,y2,'b')
legend('odeEuler','ode23')
wc = abs(y1-y2);
all = [t1,y1,y2,wc];
disp(all)

运行结果:

……

第一列为t，第二列为欧拉法求得函数值，第三列为ode23求得函数值，第四列为两者误差.

3. 二次多项式拟合

某种产品在生产过程中的性能指标y与它所含的某种材料的含量x有关，现将试验所得16组数据记录列于下表.

要求拟合y与x的函数关系。用多项式拟合函数polyfit进行二次多项式拟合。编写函数文件返回2个参数：

第1个返回参数为二次多项式系数组成的行向量p（元素由高次到低次排列）；

第2个返回参数为拟合函数在点x=25:0.4:60处的函数值（用1个行向量表示）.

程序文件第1行参考格式如下：

function [p,v]= myfun

解：考虑数据录入不方便，故将表格数据命名为’data.xlsx’文件并保存在同一目录下；

函数代码：

function [p,v]= myfun
    filename = 'data.xlsx';  % Excel 文件名或路径
    sheet = 'Sheet1';           % 工作表名
    range1 = 'B1:Q1';           % 读取的数据范围
    range2 = 'B2:Q2'
    [x, txt1, raw1] = xlsread(filename, sheet, range1);
    [y, txt2, raw2] = xlsread(filename, sheet, range2);
    p = polyfit(x,y,2);
    x0 = 25:0.4:60;
    v = polyval(p,x0);

运行结果:

4. 分别用符号运算和数值计算命令quad求积分${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{cosx}{1+si{n}^{2}x}dx$

代码:

syms y(x)
    y = cos(x)./(1+(sin(x)).^2);
    f1 = int(y,x,0,pi/2)                %符号计算
    fun = @(x) cos(x)./(1+sin(x).^2);
    f2 = quad(fun, 0, pi/2)             %数值计算

运行结果:

3.2 综合训练

一、实验任务

请用Matlab函数ode23求解下列微分方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=20(1-x^2)\frac{dx}{dt}+0.5x,\\ x(0)=2,x^{{}^{\prime }}=0\end{array}$

将上述二阶方程转化为一阶微分方程组；编写函数调用ode工具箱函数返回x在点0:0.1:100处的函数值，用列向量存储这些函数值,并绘制出函数x在区间[0,100]上的曲线。此列向量为double型数组.

二、 实验目的

熟悉二阶微分方程转化为一阶微分方程组的方法，熟悉Matlab解微分方程数值解的函数.

三、实验过程

首先，将原二阶微分方程转化为一阶微分方程组，令$x1=x,x_2=\frac{dx}{dt}$则

$\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=x_2\\ \frac{d{x}_2}{dt}=20(1-x_1^2)x_2+0.5x_1\\ x_1(0)=2,x_2(0)=0\end{array}$

代码:

x0 = [2;0];
tn = [0:0.1:100];
[t,x] = ode23(@vdpol,tn,x0)
plot(t,x(:,1))
xlabel('t');ylabel('x');
function dfun = vdpol(t,x)
   dfun = [x(2);20*(1-x(1)^2)*x(2)+0.5*x(1)]; 
end

部分运行结果:

四、实验自评与改进方向

在本次实验中，较好地完成了各项实验任务，进一步巩固了数学实验方法，对各个常用函数有了更深的理解。以后应该多多练习，深入理解ode23，int等系统函数的使用方法，提高数学实验能力。

五、实验体会,收获及建议

在处理数据时，使用了xlsread函数来读取xlsx文件中的数据，从而不用手动输入，大大提高了工作效率。在处理更大量的数据时，使用类似的函数将达到事半功倍的效果。