隔板法
X 1 + X 2 + . . . + X n = m , X i > = 0 X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=0 X1+X2+...+Xn=m,Xi>=0
求方程解的个数 求方程解的个数 求方程解的个数
m 个球插入 n − 1 个板将 m 个球分成 n 份 m个球插入n-1个板将m个球分成n份 m个球插入n−1个板将m个球分成n份
方程解的个数 ( m n + m − 1 ) 方程解的个数(^{n+m-1}_{m}) 方程解的个数(mn+m−1)
如果要求每份球的个数都大于1该怎么做？
X 1 + X 2 + . . . + X n = m , X i > = 1 X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=1 X1+X2+...+Xn=m,Xi>=1
求方程解的个数 求方程解的个数 求方程解的个数
令 X ′ = X 1 − 1 , X ′ > = 0 , 令 X^{'} = X_1-1,X^{'}>=0, 令X′=X1−1,X′>=0,
X 1 + X 2 + . . . + X n = m − n , X i ′ > = 0 X_1+X_2+...+X_n=m-n,\quad X_i^{'}>=0 X1+X2+...+Xn=m−n,Xi′>=0
方程解的个数 ( n − 1 m − n + n − 1 ) = ( n − 1 m − 1 ) 方程解的个数(^{m-n+n-1}_{n-1})=(^{m-1}_{n-1}) 方程解的个数(n−1m−n+n−1)=(n−1m−1)
直观上将，我们可以直接先将每份里面都放一个球，然后再按上面的没有限制条件的做
也可以这样理解 m 个球之间有 m − 1 个空，在这 m − 1 个空里插入 n − 1 个隔板 也可以这样理解m个球之间有m-1个空，在这m-1个空里插入n-1个隔板 也可以这样理解m个球之间有m−1个空，在这m−1个空里插入n−1个隔板
