算法训练营Day41

#Java #动态规划

Feeling and experiences：

买卖股票的最佳时机：力扣题目链接

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

我认为这道题的最优解为贪心，不仅更容易想到，代码也更简单。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //贪心：取最左最小值，取最右最大值
        //这样他们相减得到的利润必然为最大
        int low = Integer.MAX_VALUE;//便于后续更新
        int res = 0; //记录结果

        for(int i = 0;i<prices.length;i++){
             low = Math.min(low,prices[i]); //取最左最小值
             res = Math.max(res,prices[i] - low);//得到最大利润
        }
        return res;
    }
}

思路很简单：要得到最大的利润，那买的股票一定要便宜，卖出去的一定要贵。

但是买股票要在卖股票之前，这样就理清楚了：在左边的最小值，取右边的最大值，即取买的最小值，取卖的最大值！（代码很容易理解）

根据本章要求，还是用动态规划的方法。

不看解题思路是真的想不出来

对于这道题的dp数组与递推公式都不是很好想到

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
    //动态规划的解法第一次不易想到，但可以解决这一系列问题

    //先分析问题，创建dp数组。
    int [][]dp = new int[prices.length][2];  //二维数组
    //dp[i][0] 第i天 持有股票所拥有的钱
    //dp[i][1] 第i天 不持有股票所拥有的钱

    //递推：
    //dp[i][0] 的 状态 是dp[i-1][0] 与 -prices[i]所推出来的
    //dp[i][1] 的 状态 是dp[i-1][1] 与 dp[i-1][0] + prices[i]所推出来的

    //初始化：
    dp[0][0] = -prices[0];
    dp[0][1] = 0; 

    //循环
    for(int i =1;i<prices.length;i++){
        dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
    }
    return dp[prices.length-1][1];
    }
}

虽然对于这道题，贪心的做法更好，但是用动态规划是要解决这一系列的问题。

1. 定义状态： 使用动态规划数组 dp 来表示问题的状态。

   • dp[i][0]: 表示第i天持有股票时的最大利润。
   • dp[i][1]: 表示第i天不持有股票时的最大利润。

2. 状态转移方程： 明确定义状态之后，需要找到状态之间的转移关系。

   • 对于 dp[i][0]，它可以从前一天持有股票 (dp[i-1][0]) 或者在当天购买股票 (-prices[i]) 推导出来，取两者中的最大值。
   • 对于 dp[i][1]，它可以从前一天不持有股票 (dp[i-1][1]) 或者在当天卖出股票 (dp[i-1][0] + prices[i]) 推导出来，取两者中的最大值。

3. 初始化： 初始化第一天的状态。

   • dp[0][0] = -prices[0]: 第一天持有股票的最大利润为购买股票的负收益。
   • dp[0][1] = 0: 第一天不持有股票的最大利润为0。

4. 迭代： 从第二天开始，根据状态转移方程更新动态规划数组。

   • 通过循环遍历股价数组，计算每一天的状态（递推）

买卖股票的最佳时机II：力扣题目链接

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。

这道题是上一题的衍生：唯一区别是本题股票可以买卖多次了

这道题，同样可以用贪心的方法：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
    //低买高出
    //贪心：只要第二天比今天的收益高就可以买了再卖
    int profit = 0;
    for(int i = 1; i<prices.length;i++){
        if(prices[i] > prices[i-1]){
        profit+=prices[i] - prices[i-1];
        }
    }
    return profit;
    }
}

动态规划：

因为之前是只能买一次，所以递推为： dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);

但该题，可以买卖多次，则递推改为： dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

class Solution 
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //按照I的模板来写
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];    
        dp[0][0] = 0;                 
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);    // 第 i 天，没有股票，这里是不一样的地方
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);    // 第 i 天，持有股票
        }
        return dp[n - 1][0];   
    }
}

思路与 I 的完全相同，只不过在递推中： dp[i][0]的状态是 前一天持有股票的状态dp[i-1][0] 以及 前一天持有股票，但今天卖了的状态（dp[i-1][1] + prices[i])推出来的。

山中何事，松花酿酒，春水煎茶。

Fighting！