计算机导论02-计算机运算基础

数制及其转换

进位计数制

数码、基数、位权

N进制数制的特点

1. 基数为N： N进制数制的基数即为N，表示该数制所使用的数码的个数。

2. 数码范围： 共有0, 1, …, N-1共N个数码，最大的数码为N-1。此外，还包括一个符号“小数点”，用于表示小数部分。

3. 进位原则： N进制数制采用“逢N进一”的进位原则。当某一位的数码达到N时，就要向高位进位，并将该位的数码重新从0开始。这类似于十进制中当个位数达到9时，就进位到十位，重新从0开始。

计算机中常用的数制

计算机使用二进制的原因

技术实现简便

1. 二进制中的0和1分别对应硬件中电路的接通和断开，电流的强弱，电位的高低等基本状态。这使得计算机硬件的设计和实现更加容易。

运算规则简单
二进制运算规则简单明确，例如二进制加法只有四种可能的结果：0、1、10、11，而二进制乘法也仅有0和1的组合。这简化了计算机中的运算过程。

可靠性高
由于二进制计算规则简单，电路实现也相对简单，因此计算机硬件工作更为稳定，可靠性更高。

逻辑判断方便
二进制只有两个可能的状态，即0和1，与逻辑计算中的真假、True和False完美对应。这使得计算机在进行逻辑判断时更为方便和直观。

不同数制间的转换

十进制与二进制、八进制、十六进制对应关系

图片来源教材配套课件

非常感谢你的提问！我理解你想要整理一下关于非十进制数转换为十进制数的笔记。以下是对你的笔记内容的整理：

非十进制数转换为十进制数

在计算机科学中，将非十进制数转换为十进制数的方法采用按位权展开再求和的方式。任何一个R进制数N（包括整数和小数部分）均可表示为如下形式：

其中：

例：

考虑二进制数 10001101.11转为十进制数：

=141.75

十进制转化成非十进制

除基取余法

除基取余，逆序排列，商零终止
除以基数取余数，逆序排列（先得到的余数排在低位，后得到的余数排在高位），商为零终止。用于整数部分

例

求：35转化成2进制

35的二进制为100011

乘基取整，顺序排列，余零终止
乘以基数取整数，顺序排列（先得到的整数排在高位，后得到的整数排在低位），余零终止（备注：十进制小数转换为非十进制小数的过程可能是无限的，即得不到余数为零的结果，此时根据有效数字的要求直接间断）

例：十进制0.25转化成二进制

整数及小数部分分别转换，结果用小数点连接

例：求十进制35.25的二进制
根据上面的结果，再相加为100011.01

二进制转化成八进制

转换原则
整数部分从低位到高位每三位为一组（不足3位在高位用0补足），小数部分从高位到低位每三位为一组（不足3位在低位用0补足），然后将每组三位二进制数转换成对应的一位八进制数。一组一组地转换成对应的八进制数，即得到转换的结果。

整、小独立，合三为一，不足补零
整数部分和小数部分分别独立转换，小数点向前或向后合三位二进制码为一位八进制码，不足三位的数码以零补足为三位

例：求二进制1001011.11101的八进制

八进制数转换为二进制数

整、小独立，一分为三
整数部分和小数部分分别独立转换，一位八进制码分成三位二进制码

例：八进制261.34转化成二进制

二进制和16进制转换

类似地，十六进制数与二进制数的转换原则是，十六进制数中的每一位用4位二进制数来表示。

计算机中数据的表示

数的机器码表示

机器数和真值

1. 机器数
   • 用“0”表示正号，“1”表示负号，符号位在最高数值位之前。
   • 例如：[N1]原=01101101，[N2]原=11101101
2. 真值
   • 表示数的符号用“+”、“-”，与机器数不同。
   • N1=+1101101，N2=-1101101

原码

• 符号位为0表示正数，为1表示负数，数值部分用二进制数的绝对值表示。
• 例如：+59的原码为00111011，-59的原码为10111011。

注意：0的原码有两个值，分为“正零”和“负零”。

• [+0]原=00000000
• [-0]原=10000000

反码

• 为了便于求负数的补码。
• 正数的反码与原码相同，负数的反码是符号位不变，数值位逐位取反。

例如：[+59]反=[+59]原=00111011，[-59]反=11000100

补码

• 将某数X加上模数K，称为以K为模的X的补码。
• 正数的补码最高位为符号“0”，数值部分为该数本身。
• 负数的补码最高位为符号“1”，数值部分为用模减去该数的绝对值。

二进制数的补码简便求法：

• 正数的补码与其原码相同。
• 负数的补码是符号位不变，数值位逐位取反（求反码），然后在最低位加1（求反加1）。

例如：

• [+59]补=[+59]原=00111011
• [-59]原=10111011，[-59]反=11000100
• [-59]补=[-59]反+1=11000100+1=11000101

数值数据的表示

定点数表示

所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。通常将定点数据表示成纯小数或纯整数。为了将数表示成纯小数，通常把小数点固定在数值部分的最高位之前；而为了把数表示成纯整数，则把小数点固定在数值部分的最后面

浮点数表示

浮点表示法就是把一个数的有效数字和数的范围在计算机中分别予以表示。这种把数的范围和精度分别表示的方法，相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。因此称为浮点表示法。

S为尾数的符号位，放在最高一位；E为阶码，紧跟在符号位之后，占m位；M为尾数，放在低位部分，占n位。

设机器字长是64，则64 = 1 + m + n，
m越大，则n越小，X越大；阶码越大（越小），数的绝对值越大（越小），有效数字越少（越多），符合越大（越小）的数字精度越低（越高）的要求。

非数值数据的表示

西文字符的表示 - ASCII码

编码方法：
高三位（区号，0到7列），低四位（位号0到15行）
占用1B空间，8位二进制码的最高位（表示校验码，或ASCII的版本号）

汉字的表示

• GB2312字符集。
• BIG5字符集。
• GBK字符集。
• GB18030字符集。

汉字编码占用2B空间，区位码，国标码，机内码；
GB18030-2000字符集

Unicode码

Unicode为每种语言中的每个字符设定了统一并且唯一的二进制编码，以满足跨语言、跨平台进行文本转换、处理的要求。

Universal-code：通用编码，统一编码，16位字符集，每个字符占2B空间，计可表示216个不同字符，可扩展到32位字符集。

数据存储与数据运算

数据存储

存储单元

在计算机中最小的信息单位是bit，也就是一个二进制位（b），8个bit组成一个Byte，也就是字节（B）。一个存储单元（memory cell）可以存储一个字节，也就是8个二进制位。
存储单元的地址称为存储地址（memory address），一般用十六进制数表示，从0开始顺序编号。

数据的存储单位

数据运算

定点加、减法运算

定点加、减法运算属于算术运算，要考虑参加运算数据的符号和编码格式。在计算机中，定点数据主要有原码、反码、补码三种形式。

补码运算时，可以将符号位与数值位一起处理，因此，现代计算机的运算器一般都采用补码形式进行加减法运算。

（1）补码加法
补码加法的公式是：
[x]补+[y]补=[x+y]补

（2）补码减法
由于减去一个数就是加上这个数的负数，因此
[x-y]补=[x+(-y)]补=[x]补+[-y]补

从[y]补求[-y]补的法则：当已知[y]补要求[-y]补时，只要将[y]补连同符号位“取反且最低位加1”即可。

（3）溢出及其判断
如果两数进行加减运算之后的运算结果超出了给定的取值范围，这就称为溢出。
正溢: 两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数
负溢: 两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数

定点乘除法运算

实现乘除法运算的方式主要有三种：

1. 软件实现： 通过编写软件算法来完成乘除法运算。

2. 硬件实现（基本运算电路的增强）： 在原有的基本运算电路基础上，引入左右移位和计数器等逻辑电路，同时增加专门的乘除法指令，以实现乘除法运算。

3. 硬件实现（单元阵列乘除法器）： 随着大规模集成电路的发展，出现了高速的单元阵列乘除法器。这些乘除法器采用并行计算的方式，通过流水线处理乘除法运算，也可以通过专门的乘除法指令来调用。

逻辑运算

• 逻辑非运算（NOT）
• 逻辑与运算（AND）
• 逻辑或运算（OR）
• 逻辑异或运算（XOR）